2.2.4 第一课时 均值不等式（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学均值不等式核心知识点，系统梳理算术平均值与几何平均值概念、均值不等式推导过程及应用（比较大小、证明、求最值），以赵爽弦图实例引入，通过“想一想”深化条件理解，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以国际数学家大会会标（赵爽弦图）创设情境，引导学生用数学眼光观察现实图形中的不等关系，“想一想”环节与例题分析强化逻辑推理（数学思维），几何情境跟踪训练结合代数知识提升数学表达能力。课中助力教师互动教学，课后练习覆盖不同层次，帮助学生查漏补缺。

第一课时　均值不等式 1.掌握均值不等式及推导过程（数学抽象、逻辑推理）. 2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小（逻辑推理、数学运算）. 3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值（逻辑推理、数学运算）. 如图，是第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车. 【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数　　　　称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a，b都是正数，那么　　　　　　，当且仅当a＝b时，等号成立. 　　提醒：均值不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤. 3.重要不等式 对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 　　　　时，等号成立. 【想一想】 1.均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 2.均值不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明. 1.不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是（　　 ） A.m＝1　　　　　 　 B.m＝±1 C.m＝－1 D.m＝0 2.已知a，b为正实数，A＝，＝＋，G＝，则（　　） A.G≤H≤A B.H≤G≤A C.G≤A≤H D.H≤A≤G 3.若0＜a＜b，a＋b＝1，则a，，2ab中最大的数为　　　　. 题型一｜对均值不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［＋］≤－2＝－2. 其中正确的推导为（　　 ） A.①②　　　　　　　　 B.①③ C.②③ D.①②③ 尝试解答 通性通法 1.均值不等式≥（a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a，b都是正数； （2）“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【跟踪训练】 如图，AB是半圆O的直径，点C是直径AB上一动点，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，BD，OD.设AC＝a，BC＝b，比较线段OD与CD的长度，得出结论正确的是（　　） A.＝（a＞0，b＞0） B.≥（a＞0，b＞0） C.＜（a＞0，b＞0） D.＞ab（a＞0，b＞0） 题型二｜利用均值不等式比较大小 【例2】　（1）已知a，b∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（　　 ） A.a＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D.≥ （2）已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是　　　　. 尝试解答 通性通法 　　运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 【跟踪训练】 已知a＞0，b＞0，且a≠b，则，， ，中最大的是（　　） A.　 B.　 C.　 D. 题型三｜利用均值不等式证明不等式 【例3】　已知x＞0，y＞0，z＞0，求证≥8. 尝试解答 通性通法 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用. 【跟踪训练】 已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 1.下列不等式恒成立的是（　　） A.a2＋b2≥－2ab　 B.a2＋b2≤2ab C.a＋b≥－2 D.a＋b≤2 2.〔多选〕 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　） A.a2＋b2≥2ab B.a＋b≥2 C.＋＞ D.＋≥2 3.ab＞0是＋＞2的（　　 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若a，b∈R，且ab＝4，可以证明a2＋b2≥8成立.请写出等号成立的条件：　　　. 提示：完成课后作业　第二章　2.2　2.2.4　第一课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4　均值不等式及其应用 第一课时　均值不等式 【基础落实】 新知初探 知识点 1.　2.≥　3.a＝b 想一想 1.提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 2.提示：不能，如≥是不成立的. 自我诊断 1.A　若不等式m2＋1≥2m，由重要不等式等号成立的条件得m＝1，故选A. 2.B　因为a，b为正实数，所以A＝≥＝G，当且仅当a＝b时，等号成立.＝＋≥2＝，所以H≤，当且仅当a＝b时，等号成立.综上，H≤G≤A.故选B. 3.　解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，所以a＜. 因为ab＜＝，所以2ab＜，所以a，，2ab中最大的数为. 【典例研析】 【例1】　B　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的； ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确. 跟踪训练 　B　因为OD是圆O的半径，所以OD＝＝.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°，则△ACD∽△DCB，即＝，即CD2＝AC·CB＝ab，所以CD＝，当点C与点O重合时，CD＝OD，否则CD＜OD，即CD≤OD，所以≥（a＞0，b＞0）.故选B. 【例2】　（1）D　（2）p＞q　解析：（1）由≥得a＋b≥2，∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立. （2）∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2bc，a2＋c2＞2ac. ∴2（a2＋b2＋c2）＞2（ab＋bc＋ac）. 即a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.∴p＞q. 跟踪训练 　A　因为a＞0，b＞0，所以≤＝，≤，＝≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立，又已知a≠b，则＜＜＜.故选A. 【例3】　证明：∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，当且仅当x＝y＝z时，以上三个不等式的等号同时成立.∴≥＝8， 当且仅当x＝y＝z时等号成立. 跟踪训练 　证明：因为a，b，c＞0，则＞0，＞0，＞0， 于是得＋b≥2＝2a，当且仅当＝b，即a＝b时等号成立， ＋c≥2＝2b，当且仅当＝c，即b＝c时等号成立， ＋a≥2＝2c，当且仅当＝a，即c＝a时等号成立， 将上述三个不等式相加得：＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， 当且仅当a＝b＝c时等号成立，因此有＋＋≥a＋b＋c， 所以当a，b，c＞0时，＋＋≥a＋b＋c. 随堂检测 1.A　对于A，a2＋b2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜≥－2ab，A正确；对于B，a2＋b2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜≥2ab，B错误；对于C，取a＝－2，b＝0，a＋b＝－2＜0＝－2，C错误；对于D，取a＝1，b＝2，a＋b＝3＞2＝2，D错误.故选A. 2.AD　对于A，∀a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab成立，A正确；对于B，由于a，b∈R，且ab＞0，当a＜0，b＜0时，a＋b＜0，而2＞0，不等式不成立，B错误；对于C，由于a，b∈R，且ab＞0，当a＜0，b＜0时，＋＜0，而＞0，不等式不成立，C错误；对于D，由a，b∈R，且ab＞0，得＞0，＞0，则＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号，D正确.故选A、D. 3.B　当ab＞0时，＞0，＞0，＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号， 所以ab＞0不是＋＞2的充分条件； 若＋＞2，则＋＝＞2，所以ab＞0，故ab＞0是＋＞2的必要条件. 综上，ab＞0是＋＞2的必要不充分条件.故选B. 4.a＝b＝±2　解析：由a2＋b2≥2ab，且ab＝4，则a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝±2时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $