2.1.1 等式的性质与方程的解集课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.1 等式的性质与方程的解集 第二章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.能用符号语言和量词表示等式的性质. 2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式. 3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形,求方程的解集. 学习目标 作者编号：32200 1.回忆初中学习过哪些等式的性质？ 2.你能够用第一章学习过的量词和符号语言表达上述性质吗？ 3.写好后，请与你的同伴进行交流. 等式的性质： （1）如果a=b，那么b=a. （2）如果a=b，b=c，那么a=c. （3）如果a=b，那么∀c∈R，a±c=b±c. （4）如果a=b，那么∀c≠0，ac=bc或 . 问题导入 … … … 作者编号：32200 【尝试与发现】补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： （1）a2－b2＝_____________(平方差公式)； （2）(x＋y)2＝______________(两数和的平方公式)； （3）3x－6＝0； （4）(a＋b)c＝ac＋bc； （5）m(m－1)＝0； （6）t3＋1＝(t＋1)(t2－t＋1)． (a+b)(a-b) x2+2xy+y2 对任意实数都成立的等式有： （1）（2）（4）（6） ； 只是存在实数使其成立的等式有：（3）（5）. 新知探究 … … … 作者编号：32200 1.恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 2.常见的代数恒等式 ①(a+b)2= ，(a-b)2=a2-2ab+b2. ②a2-b2= . ③a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)，a3-b3= . ④(x+a)(x+b)= ，(ax+b)(cx+d)= . a2+2ab+b2 (a+b)(a-b) (a-b)(a2+ab+b2) x2+(a+b)x+ab acx2+(ad+bc)x+bd 知识梳理 作者编号：32200 例1 化简(x+3y)2-(3x+y)2. 解：(x+3y)2-(3x+y)2 =x2+6xy+9y2-(9x2+6xy+y2) =x2+6xy+9y2-9x2-6xy-y2 =8y2-8x2. (x+3y)2-(3x+y)2 =[(x+3y)+(3x+y)][(x+3y)-(3x+y)] =(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y) =(4x+4y)(-2x+2y) =4(x+y)×2(-x+y) =8y2-8x2. 方法一：可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项. 方法二：可以将x＋3y和3x＋y分别看成一个整体，然后使用平方差公式. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 (1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式. (2)利用公式化简时，要注意选择恰当的公式，可以有效地简化运算. 作者编号：32200 思考：我们知道对任意的x，a，b，都有(x+a)·(x+b)=x2+(a+b)x+ab.那么对于二次三项式x2+x-2如何分解因式呢? 由(x+2)(x-1)=x2+x-2可知，二次三项式x2+x-2可分解为(x-1)(x+2). 新知探究 … … … 作者编号：32200 3.十字相乘法 给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D= (x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程， 通常用图来表示: ， 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 知识梳理 作者编号：32200 例2 将下列各式因式分解: (1)x2+6x-7；(2)2x2-7x+6；(3)-x2+(a-2)x+2a；(4)x2+29xy+100y2. 解：(1)x2+6x-7=(x+7)(x-1). (2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(-2)×(-3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数，右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(-3)+2×(-2)=-7，正好是一次项系数， 从而得2x2-7x+6=(x-2)(2x-3). 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 将下列各式因式分解: (1)x2+6x-7；(2)2x2-7x+6；(3)-x2+(a-2)x+2a；(4)x2+29xy+100y2. (3)－x2＋(a－2)x＋2a＝(x＋2)(－x＋a)＝－(x＋2)(x－a). (4)x2+29xy+100y2=x2+29y·x+4y·25y=(x+4y)(x+25y). 新知探究 … … … 作者编号：32200 (1)对于二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解. (2)对于二次三项式ax2+bx+c(a，b，c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2=a，c1c2=c，并且a1c2+a2c1=b，那么二次三项式ax2+bx+c，即a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2可以分解为(a1x+c1)·(a2x+c2). 归纳总结 新知探究 … … … 作者编号：32200 做一做：求方程x2－5x＋6＝0的解. 解：因为x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)， 所以原方程可化为(x－2)(x－3)＝0， 从而可知x－2＝0或x－3＝0，即x＝3或x＝2. 一个方程所有的解所组成的集合叫做这个方程的解集. 写出这个方程的解集. 解集为{x|x＝3或x＝2}或{2，3}. 思考：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？ 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 求方程10(x＋1)2－29(x＋1)＋10＝0的解集. 解：∵10(x＋1)2－29(x＋1)＋10＝[2(x＋1)－5]·[5(x＋1)－2] ＝(2x－3)(5x＋3)， ∴原方程可以化为(2x－3)(5x＋3)＝0， ∴2x－3＝0或5x＋3＝0， 从而x＝或x＝， 因此所求方程的解集为{，}. 新知探究 … … … 作者编号：32200 变式：求关于x的方程3x2－(6＋t)x＋2t＝0的解集. 解：∵3x2－(6＋t)x＋2t＝(x－2)(3x－t)， ∴原方程可以化为(x－2)(3x－t)＝0， ∴x－2＝0或3x－t＝0， 从而x＝2或x＝， ∴当t＝6时，方程的解集为{2}； 当t≠6时，方程的解集为{2，}. 新知探究 … … … 作者编号：32200 根据今天所学，回顾下列知识点： （1）等式的性质； （2）恒等式； （3）十字相乘法； （4）方程的解集. 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n等于(　 ) A.1 B.－2 C.－1 D.2 2.下列分解因式正确的是(　 ) A.－x2＋4x＝－x(x＋4) B.x2＋xy＋x＝x(x＋y) C.x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D.x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 3.(多选)下列方程的解集不正确的是( 　 ) A.x-3=1的解集是{-2} B.x-2x=6的解集是{-4} C.3x-4=(x-3)的解集是{3} D.-x=2的解集是 C ACD C 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $$