2.1.1等式的性质与方程的解集（同步课件）数学人教B版必修第一册

2.1 等式 2.1.1等式的性质与方程的解集 第2章 等式与不等式 复习引入 我们已经学习过等式的性质： (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立. 尝试与发现：请用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果，则对任意，都有___________________； (2)如果，则对任意不为零的，都有___________________. 因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立. 新知探索 尝试与发现：补全下列(1)(2)中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准： (1)(平方差公式)； (2)(两数和的平方公式)； (3)； (4)； (5)； (6). 新知探索 (1)(平方差公式)； (2)(两数和的平方公式)； (3)； (4)； (5)； (6). 如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式__________对任意实数都成立，而等式___________只是存在实数使其成立.例如只有时成立，取其他数时都不成立. (1)(2)(4)(6) (3)(5) 新知探索 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等. 恒等式是进行代数变形的依据之一.例如，因为对任意，都成立，所以可用其他代数式去替换其中的，，等式仍会成立，若用替换其中的，则 ， 由此就得到了以前学过的两数差的平方公式. 例题 例1 化简. 解(方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开， 然后合并同类项，即 (方法二)可以将和分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即 新知探索 下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的，，，都有 . 这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，即 . 可以利用这个恒等式来进行因式分解，给定式子，如果能找到和，使得且，则 . 新知探索 为了方便记忆，已知和，寻找满足条件的和的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 例如，对于式子来说，因为且，所以 ________________. 新知探索 尝试与发现：证明恒等式. 并由此探讨的因式分解方法. 上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可.据此也可进行因式分解.例如，对于来说，因为且，如图所示，所以. 新知探索 我们知道，方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集.例如，对于方程来说，首先在等式两边同时加上，可得__________，然后在上述等式两边同时乘以，则得，由此可知方程的解集为. 不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集. 新知探索 从小学开始我们就知道， 任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此： 如果，则或. 利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集.例如，由方程 可知或，从而或，因此方程的解集为. 例题 例2 求方程的解集. 解 因为，所以原方程可以化为，从而可知或，即或，因此所求解集为 例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为的形式，那么就能方便地得出原方程的解集了. 想一想：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？ 例题 例3 求关于的方程的解集，其中是常数. 解 当时，在等式的两边同时乘以，得，此时解集为 尝试与发现：能直接在等式的两边同时除以，从而得到吗？为什么？ 当时，方程变为，这个方程无解，此时解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)等式的性质； (2)恒等式； (3)方程的解集. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P48的练习，练习； (3)课本P58的习题的1——4题. 谢谢学习 Thank you for learning $$