1.2.3 反证法课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

1.2.3 反证法 1 知识框架 2 集合与逻辑 集合初步 集合 集合的表示方法 集合之间的关系 集合的运算 常用逻辑用语 命题 充分条件与必要条件 反证法 复习回顾 充分条件与必要条件 推出关系⇒ 集合语言 判断 α是β的充分非必要条件 α⇒β，βα α是β的 条件 充分 α⇒β αβ α是β的 条件 必要 A=B A B A=B α是β的必要非充分条件 β⇒α，αβ α是β的充要条件 α⇒β，β⇒α α是β的即非充分又非必要条件 αβ， βα 证明 （1）充分性α⇒β （2）必要性β⇒α 3 《世说新语》记载：王戎七岁，尝与诸小儿游．道边李树多子折枝，诸儿竞去取之，唯戎不动．人问之，答曰：“树在道边而多子，必苦李．取之，信然.” 思考 王戎开推 假设：“李子不苦” 树在道边，则李子必被人摘走 与“树在道边而多子”矛盾 “李子不苦”的假设不成立 所以“树在道边而多子，必苦李” 4 求证：两直线相交，有且只有一个交点. 思考 假设：两条直线相交不止一个交点 设其中的两个交点分别为P、Q 则有两条直线过P、Q两点 与公理“过两点有且只有一条直线”矛盾 所以两条直线相交不止一个交点不成立 所以两条直线相交有且只有一个交点 5 [问题1]如何理解反证法？ 反证法 在推理过程中，要判断命题“若α，则β”是假命题，只要存在一个满足条件α但不满足结论β的对象就行了。【举反例】 但是要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足条件α的对象都满足结论β，有时直接验证这一点并不是一件容易的事。 任意一个 每一个 6 [问题1]如何理解反证法？ 反证法 例1 设.证明：若是偶数，则也是偶数. 证明： 假设n是奇数，设 因为 因为，所以+k ，是奇数 说明是奇数，与已知条件是偶数矛盾 所以假设不成立，即n是偶数 否定：奇数 反证逻辑： n是奇数不可能得到是偶数， 因此n只能是偶数 7 [问题1]如何理解反证法？ 反证法 【定义】首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的。 这样的证明方法叫反证法。 8 [问题1]如何理解反证法？ 反证法 一个陈述句不能构成矛盾，两个分别表示完全相反的含义的陈述句叫做一对矛盾。 上题，在是整数的前提下， 是奇数与是偶数就是一对矛盾。 9 [问题2] 运用反证法证明问题的步骤是怎样的？ 反证法 第一步 假设命题的结论不成立； 第二步 从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； 第三步 由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确 10 [问题3]如何表述一个陈述句的否定形式？【第一步】 反证法 陈述句的否定形式就是和它的含义完全相反的陈述句，非此即彼。 原结论 否定形式 原结论 否定形式 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有的成立 p或q 对任何的不成立 p且q 不是 不都是 小于或等于 大于或等于 存在不成立 存在成立 没有 至少有二个 至多有n-1个 至少有n+1个 非p且非q 非p或非q 11 [问题3]如何表述一个陈述句的否定形式？ 反证法 陈述句的否定形式就是和它的含义完全相反的陈述句，非此即彼。 【说明】对于陈述句α，可以用集合语言表述为： 我们可以借助集合语言帮助理解。 一个陈述句的否定形式的否定形式是它本身。 例 “”的否定形式是“__________” “”的否定形式是“__________” 12 例2 设.证明：若，则或. 课堂练习 证明 假设𝑥≤1且𝑦≤1， 则x+y≤2， 这与已知条件矛盾 所以假设不成立 所以或 13 [问题4]如何导出矛盾？【第二步】 反证法 【说明】在反证法中，所谓“导出矛盾”是指发现了某个命题既是真命题又是假命题。 这个命题可以是假设（假设为真，随后推理得到它是假的） 也可以是前提条件或其他已知为真的命题，如定理、性质等 14 矛盾 假设 公理 定理 题目 条件 所以不成立，即是无理数。 例3 证明：是无理数. 课堂练习 证明 假设是有理数， 设其中m与n是互素的正整数（最大公因数是1） 所以 n，,所以是偶数 根据例1， 是偶数时，m也是偶数。 设m=2k,k∈Z+，代入，得到2=4 即=2，故是偶数。则n也是偶数 所以m、n有公因数2，这与m与n互素的假设矛盾 【第一步】假设结论不成立 【第二步】和假设矛盾 【第三步】得出结论 15 《双基》P13 1 P14 12 课堂练习 16 课堂小结 反证法 理解反证法 步骤 假设结论不成立 （陈述句的否定形式） 导出矛盾 （条件、公理、定理等） 假设不成立，则结论成立 推理（说理充分 推理严谨） 17 课后作业 基础练习 能力拓展（选做） 18 $$