1.2.2 充分条件与必要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学课件聚焦充分条件、必要条件、充要条件及既非充分又非必要条件的逻辑关系，通过电路开关与灯泡亮灭的情境（图1-4）导入，从命题概念复习出发，以问题链引出推出关系，构建“复习-情境-抽象-应用”的学习支架。 其亮点在于以电路模型为直观载体，用数学眼光抽象现实问题中的逻辑关系，结合方程、集合等实例（如集合交集充要条件证明），通过问题驱动和例题解析培养数学思维，以符号（⇒、⇔）规范数学语言表达。学生能直观理解抽象概念，教师可依托清晰流程提升教学效率。

1.2.2 充分条件与必要条件 1 知识框架 2 集合与逻辑 集合初步 集合 集合的表示方法 集合之间的关系 集合的运算 常用逻辑用语 命题 充分条件与必要条件 反证法 复习回顾 命题 可判断真假 陈述句 自然语言、 符号或式子 “若α，则β” 推出关系⇒ （集合语言） 判断 真命题 ——给出证明 假命题 ——举出反例 3 [问题1]如图（1）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 思考 只要开关A闭合，灯泡S一定亮 要使得灯泡S亮，开关A闭合就足够充分 所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的一个充分条件 图（1） 同理， “开关B闭合”也是“灯泡S亮”的一个充分条件 4 [问题1]如图（1）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 充分条件 “x=1”时，“(x-1)(x+2)=0”一定成立 所以“x=1”是“(x-1)(x+2)=0”的一个充分条件 图（1） 同理， “x=2”也是“灯泡S亮”的一个充分条件 5 [问题2]如图（2）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 思考 开关A闭合灯泡S不一定亮 但是开关A不闭合，灯泡S一定不亮 要使得灯泡S亮，开关A必须闭合 开关A闭合是灯泡S亮的不可或缺的条件 所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的一个必要条件 图（2） 同理， “开关B闭合”也是“灯泡S亮”的一个必要条件 6 [问题2]如图（2）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 必要条件 “x≥0”时“x＞0”不一定成立 但是“x≥0”不成立时， “x＞0”一定不成立 “x≥0”是“x＞0”的不可或缺的条件 所以“x≥0”是“x＞0”的一个必要条件 图（2） 同理， “x＞-1”也是“x＞0”的一个必要条件 7 【定义】对于两个陈述句α与β，如果α⇒β，那么就称α是β的充分条件(sufficient condition)，亦称β是α的必要条件(necessary condition). 充分条件、必要条件 β是α的 条件 α是β的 条件 充分 必要 α⇒β 例 “两个角是对顶角” ⇒“两个角相等” 所以“两个角是对顶角” 是“两个角相等”的____条件 “两个角相等”是“两个角是对顶角”的____条件 反之,βα α是β的 条件 β是α的 条件 充分 必要 即,αβ 8 例1 判断下列各组中的α分别是β的什么条件，并说明理由. （1）α：四边形ABCD是正方形，β：四边形ABCD的四个内角都是直角； （2）α：是有理数，β：是有理数． [问题3] 如何判定充分条件和必要条件呢？ 充分条件、必要条件 α⇒β, α是β的充分条件，β⇏α，α不是β的必要条件。 α是β的充分非必要条件 α是β的 条件 充分 α⇒β αβ α是β的 条件 必要 有理数可写为分数(r、s∈Z),因此必是有理数，β⇒α，α是β的必要条件 α⇏β（反例）, α不是β的充分条件 α是β的必要非充分条件 9 [问题4] 如图（3）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 思考 开关A闭合，灯泡S一定亮 灯泡S亮，开关A一定闭合 图（3） 【定义】对于两个陈述句α与β，如果既有α⇒β，又有βα，就称α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作αβ，读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立” 所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的一个充要条件 10 [问题4] 如图（3）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 充要条件 图（3） 例：“|x|=|y|”是“”的_______条件。 11 [问题5] 如何证明一个陈述句是另一个陈述句的充要条件？ 充要条件 例2 已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件. 充分性证明：（即证） 当m=1时， ,又因为 所以。充分性成立 必要性证明：（即证 ） 因为，则M中必有元素7，所以， 即m=1，验证集合成立。必要性成立 综上所述，“𝑚=1”是“𝑀∩𝑁={7}”的充要条件. 12 [问题6] 如图（4）中的电路，开关A闭合，灯泡S亮不亮？ 思考 开关A闭合与灯泡S亮不亮没有任何关联， 图（4） 所以“开关A闭合”是“灯泡S亮”的既非充分又非必要条件 例：“”是“0”的_______条件。 13 《双基》P11 1-6 课堂练习 14 课堂小结 充分条件与必要条件 推出关系⇒ 集合语言 判断 α是β的充分非必要条件 α⇒β，βα α是β的 条件 充分 α⇒β αβ α是β的 条件 必要 A=B A B A=B α是β的必要非充分条件 β⇒α，αβ α是β的充要条件 α⇒β，β⇒α α是β的即非充分又非必要条件 αβ， βα 证明 （1）充分性α⇒β （2）必要性β⇒α 15 课后作业 基础练习 能力拓展（选做） 16 $$