1.2.2 充分条件与必要条件（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

1.2.2充分条件与必要条件 题型一 判断充分必要条件 1．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立， “成人”能推出“学好数学”，必要性成立， 故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件． 故选：B． 2．“x是有理数”是“是整数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】若是有理数，如，则不是整数，所以是有理数不能推出为整数， 若为整数，则是有理数，所以为整数能够推出是有理数， 所以是有理数是为整数的必要非充分条件. 故选：B. 3．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，根据并集的定义,所以当时，一定有，即由能推出，所以是的充分条件. 若，则可能属于，也可能属于，不一定有. 例如，，当时，，但，即由不能推出，所以不是的必要条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 4．已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】由可得，解得或. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由等价于， 由等价于， 由推不出，由可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立； 所以“”是“”的不充分条件； 再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件. 综上：“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 7．下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】B 【详解】对于A选项， ， 所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确； 对于D选项， 充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立； 必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立. 所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确； 故选：B. 8．设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，取，，得不到 “且” 故“”不是“且”的充分条件， 当且时，取，，得不到， 故“”不是“且”的必要条件， 故“”是“且” 既不充分也不必要条件， 故选：D 9．设为全集，是的子集，则“存在集合使得”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【详解】    若“存在集合使得”，如图所示，推不出“”，故充分性不满足；    反之，若“”，如图所示，推不出“存在集合使得”，故必要性不满足； 所以“存在集合使得”是“”的既非充分又非必要条件. 故选：D 10．已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 【答案】充分不必要 【详解】依题意，有，则，而推不出，故p是s的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 题型二 充分必要条件的性质 1．请写出一个条件，使得是它的一个必要非充分条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为不能推出，而成立能推出， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：.（答案不唯一） 2．设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 3．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 4．方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 . 【答案】 (答案不唯一) 【详解】解：因为方程有实根， 所以，即，解得， 反之，当时，，则方程有实根， 所以是方程有实根的充要条件， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为：；(答案不唯一). 5．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出适合的条件，用序号填空． （1）“，都为0”的必要条件是 ； （2）“，都不为0”的充分条件是 ； （3）“，至少有一个为0”的充要条件是 ． 【答案】 ①②③ ④ ① 【详解】①或，即，至少有一个为0；所以是“，都为0”的必要条件，也是“，至少有一个为0”的充要条件； ②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正一负； 所以是“，都为0”的必要条件； ③或；所以是“，都为0”的必要条件； ④或，则，都不为0，所以是“，至少有一个为0”的充要条件. 故答案为(1). ①②③    (2). ④    (3). ① 题型一 根据充分必要条件求参数 1．设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，是的充分条件， 所以，故 故选：C 2．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 3．已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) （2）由，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由题意， 所以的子集有：. （2）由题意可得：, 故， 解得：. 4．已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）对于集合，由， 等式两边平方得， 所以，， 可得，解得，则， 因为，则， 所以，， 因为，则或，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （2）已知命题，命题，若是的必要条件，则， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 5．已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 6．已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为集合，所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以，所以. （3）因为是的必要条件，所以， 所以，所以. 题型二 充分必要条件的证明 1．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以 ．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 2．已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 3．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    4．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 1．已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 【答案】(1)、、都属于集合，理由见解析 (2)、、 (3)证明见解析 【详解】（1）解：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）解：集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 2．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【答案】(1)不具有性质 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 3．已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 【答案】(1)集合是封闭集 (2)命题是假命题，命题是真命题 (3)证明见解析 【详解】（1）对于集合，因为，所以是封闭集； 对于集合， 令， 则，所以集合是封闭集. （2）对于命题令，， 令， 则， 所以集合是封闭集，同理集合是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题若，不妨令， 则有，又因为集合是封闭集， 则，同理， 因此，所以是封闭集， 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合， 当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合， 同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.2充分条件与必要条件 题型一 判断充分必要条件 1．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“x是有理数”是“是整数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 3．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 7．下列结论中不正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C．若，则“”是“不全为”的充要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 8．设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设为全集，是的子集，则“存在集合使得”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 10．已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 题型二 充分必要条件的性质 1．请写出一个条件，使得是它的一个必要非充分条件 ． 2．设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 3．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 4．方程有实根的充要条件是 ，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是 . 5．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出适合的条件，用序号填空． （1）“，都为0”的必要条件是 ； （2）“，都不为0”的充分条件是 ； （3）“，至少有一个为0”的充要条件是 ． 题型一 根据充分必要条件求参数 1．设，若是的充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 3．已知集合， (1)写出的所有子集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 4．已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 5．已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 6．已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 题型二 充分必要条件的证明 1．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 2．已知，求证：的充要条件是. 3．设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 4．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 1．已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 2．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 3．已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$