1.1.3 集合之间的关系课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

1.1.3 集合之间的关系 1 复习回顾 元素 集合 确定的 互异的 无序的 有限集 无限集 （特别的：空集∅） 组成 属于∈ 常用数集： N,Z,Q,R 元素完全相等： 两集合相等 集合的表示方法 列举法 描述法 2 数学语言：集合 知识框架 3 集合与逻辑 集合初步 集合 集合的表示方法 集合之间的关系 集合的运算 常用逻辑用语 命题 充分条件与必要条件 反证法 （1）C是我们班全体女生组成的集合，D是我们班全体学生组成的集合； 思考 在下列各组集合中，集合C中的元素与集合D有什么关系？ （2）C是一平面上所有矩形组成的集合，D是该平面上所有平行四边形组成的集合； 集合C中的每个元素都属于集合D D={2,3}，集合C中的每个元素都属于集合D （3）； （4）； 集合C中的每个元素都属于集合D 集合C中的每个元素都属于集合D 4 子集 我们常用文氏图(Venn diagram)来直观表示集合以及集合之间的关系。 对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集(Subset)，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”） 对于任何集合A，规定∅A，即空集是任何集合的子集。 A B 5 子集 对于任何集合A，∅⊆A 对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集(Subset)，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”） 思考：对于任何集合A，怎样的集合一定是它的子集？ 任何一个集合是其本身的子集，A⊆A 6 （1）C是我们班全体女生组成的集合，D是我们班全体学生组成的集合； 思考 在下列各组集合中，集合C中的元素与集合D有什么关系？ （2）C是一平面上所有矩形组成的集合，D是该平面上所有平行四边形组成的集合； 集合C中的每个元素都属于集合D D={2,3}，集合C中的每个元素都属于集合D （3）； （4）； 集合C中的每个元素都属于集合D 集合C中的每个元素都属于集合D C⊆D C⊆D C⊆D C⊆D D⊆C D⊆C 7 子集 （3）； （4）； C⊆D C⊆D D⊆C D⊆C C=D C=D 由(3)(4)可以发现， 由C⊆D，即集合C的每个元素都是集合D的元素。 又D⊆C，即集合D的每个元素都是集合C的元素。 由此，集合C和集合D的组成元素完全相同，所以C=D 8 子集 集合之间的包含关系有以下结论 (1)任何一个集合是其本身的子集，A⊆A (2)若A⊆B且B⊆A，则A=B 9 用符号“∈”、“”或“”填空： （1）1_____{1,2}；（2）{1}_____{1,2}； （3）{1,2}_____{1,2}；（4）∅_____{1,2} 课堂练习 ⊆ ∈ ⊆ ⊇ ⊆ 10 子集 思考：实数的大小关系具有传递性，那么集合之间的包含关系是否也具有传递性？ 若A⊆B且B⊆C，则A⊆C ？ 已知：A⊆B且B⊆C，求证A⊆C 证明：因为A⊆B，所以集合A的每个元素都是集合B的元素 因为B⊆C，所以集合B的每个元素都是集合C的元素 因此，集合A的每个元素都是集合C的元素，即A⊆C A B C 11 子集 集合之间的包含关系有以下结论 (1)任何一个集合是其本身的子集，A⊆A (2)若A⊆B且B⊆A，则A=B (3)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C 12 子集 思考：任意两个实数必然存在大小关系，那么任意两个集合一定存在包含关系吗？ 如集合{1,3}与集合{1,4} 任意两个集合不一定存在包含关系 13 思考 已知C是一平面上所有矩形组成的集合，D是该平面上所有平行四边形组成的集合，集合D中的元素与集合C有什么关系？ 集合D中至少有一个元素不属于集合C C是D的 真子集 C矩形 D平行四边形 集合C中的每个元素都属于集合D 14 真子集 对于两个集合A与B，如果AB，且B中至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么称集合A是集合B的真子集(proper subset)，记作AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 思考：常用数集R、Q、Z、N之间有怎样的包含关系？ N Z Q R 思考：空集是否是任意一个集合的真子集？ 空集是任意一个非空集合的真子集 15 例1确定x与y，使得集合 课堂练习 解 由集合相等的定义，列出方程组 解得 元素是无序的 16 例2 确定下列每组中两个集合之间的关系： （1）𝐴={𝑛|𝑛是12的正约数}，𝐵={1,2,3,6} ； （2）𝐶={𝑥|−1≤𝑥＜2}，𝐷={𝑥|𝑥＜2或𝑥＞3} ； （3）𝐸={𝑛|𝑛=3𝑘+1,𝑘∈𝑁}, 𝐹={𝑛|𝑛=3𝑚−2,𝑚∈��} 课堂练习 A={1,2,3,4,6,12},所以B⊂A C⊂D -1 2 3 C D 集合E中元素有1,4,7,10,…，集合F中的元素有-2, 1,4,7,10,… N=3k+1=3k+3-2=3(k+1)-2 因为k+1属于N，所以E⊆F，又因为-2∈F，-2∉E，所以E ⊂F 17 例3 写出集合的所有子集，并指出哪些是真子集. 课堂练习 第一步 考虑空集和集合自身 第二步 按元素个数讨论 不含任何元素的子集：空集∅ 含1个元素的子集3个： 含2个元素的子集3个： 含3个元素的子集1个： 除了，其余7个都是真子集。 子集个数： 18 课堂小结 集合之间的关系 包含于⊆ A⊆A 若A⊆B且B⊆A，则A=B 若A⊆B且B⊆C，则A⊆C 子集 真子集 相等的 集合 真包含于⊂ 19 课后作业 基础练习 能力拓展（选做） 20 $$