3.1.1.1椭圆的标准方程限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

椭圆的标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 【基础巩固】 1．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　) A．(±5,0) B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0) 2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0,3)∪(3，＋∞) C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(1，＋∞) 3．设定点F1(0，－2)，F2(0,2)，动点P满足条件PF1＋PF2＝m＋(m>2)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在 4．“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．a>3 B．a<－2 C．a>3或a<－2 D．a>3或－6<a<－2 6．(多选)已知椭圆C1：4x2＋y2＝4，C2：＋＝1，则(　　) A．C1，C2的焦点都在x轴上 B．C1，C2的焦距不相等 C．C1和直线y＝k(x－2)一定相交 D．C2和直线y＝k(x－2)一定相交 7．(5分)设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则PF1·PF2的最大值是________． 8．(5分)已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________． 9．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(5分) (2)焦点在y轴上，焦距为4，且经过点(1，)．(5分) 10．(12分)求直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的公共点的坐标． 【综合运用】 11．椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON(O为坐标原点)的值为(　　) A．8 B．2 C．4 D. 12．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若AB＝5，则AF1＋BF1等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 13．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 14．(5分)已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且经过点P(2，)，同时PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程为____________． 【创新拓展】 15．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为(　　) A．9,12 B．8,11 C．8,12 D．10,12 16． (12分)已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 椭圆的标准方程 1．C　[因为椭圆的焦点在y轴上， 且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝a2－b2＝144， 所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12)．] 2．C　[联立直线和椭圆方程，得 所以(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意知Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m<0或m>1，因为m>0且m≠3，所以m>1且m≠3.] 3．A　[设y＝m＋(m>2)，易知y＝m＋在(2，＋∞)上为增函数，所以y＝m＋>4，即PF1＋PF2>4，又F1F2＝4，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆．] 4．B　[若方程＋＝1表示椭圆， 则解得2<m<6且m≠4， 所以“2<m<6”是“方程＋＝1为椭圆”的必要不充分条件．] 5．D　[由a2>a＋6>0，得 所以所以a>3或－6<a<－2.] 6．BD　[因为椭圆C1的标准方程为x2＋＝1， 所以椭圆C1的焦点在y轴上，所以A不正确； 又由椭圆C1的焦距为2×＝2， 椭圆C2的焦距为2×＝2，所以B正确； 直线y＝k(x－2)过定点(2,0)，由22＋>1， 得这个定点在C1的外部，和C1不一定相交，所以C不正确； 由＋<1， 得这个定点在C2的内部，和C2一定相交，所以D正确．] 7．9 解析　由题意得PF1＋PF2＝2a＝6， 则PF1·PF2≤＝9， 当且仅当PF1＝PF2＝3时取等号． 8.＋x2＝1 解析　由已知得2a＝8,2c＝2， 所以a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 9．解　(1) 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由题意可知a＝5，c＝3， 所以b2＝a2－c2＝52－32＝16， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由于焦距为4，即2c＝4，所以c＝2， 又因为椭圆经过点(1，)． 则 解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 10．解　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0， 解得x＝－1或x＝. ∴所求公共点的坐标为(－1,0)和. 11．C　[由椭圆定义知MF1＋MF2＝2a＝10，又MF1＝2，所以MF2＝8，由于N为MF1的中点，所以ON为△F1MF2的中位线，所以ON＝MF2＝4.] 12．C　[根据椭圆定义，得AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8， 所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝16， 所以AF1＋BF1＝16－AB＝11.] 13．A　[易知sin α≠0，cos α≠0， 方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sin α>cos α>0.又α∈，所以<α<.] 14.＋＝1 解析　由已知，可设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)， 又椭圆经过点P(2，) 则＋＝1，① 又PF1＋PF2＝2F1F2， 由椭圆的定义得2a＝4c，即a2＝4c2， 因为a2－b2＝c2，所以b2＝3c2，代入①式 得a2＝8，b2＝6， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 15．C　[如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知PA＋PB＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，此时PM＋PN最小，最小值为PA＋PB－2r＝8(r为两圆半径)． 延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M′，N′两点，此时PM＋PN最大，最大值为PA＋PB＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8,12.] 16．解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0(a≠4)， 由 消x得9y2－2ay＋a2－8＝0， 由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得a＝3或a＝－3， ∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0， 它们之间的距离即为所求的最短距离， 且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P. 故所求最短距离为d＝＝. 由 得即P. 学科网（北京）股份有限公司 $$