精品解析：四川省巴中市南江县实验中学 2024-2025 学年九年级上学期 期中数学试题

南江县实验中学2024年秋九年级期中质量检测数学试题卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．） 1. 四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则d等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义即可进行解答． 【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例， ∴，即，解得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，解题的关键是熟练掌握如果四条线段a、b、c、d满足，则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，不可颠倒）． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可． 【详解】∵一元二次方程：等式两边都是等式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程， ∴A、属于一元二次方程，符合题意； B、不是等式方程，不符合题意； C、含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，学会识别一元二次方程． 3. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 4. 如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵这两个位似三角形的周长比为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似和相似三角形的性质，牢记位似中心到对应点所连的线段比等于相似比是解题关键． 5. 某水坝的坡比为，坡长为20米，则该水坝的高度为（ ） A. 40米 B. 米 C. 20米 D. 10米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．依据题意画出示意图，由题意得坡比为，即，，，设，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：依据题意画出示意图： 由题意得坡比为，即，，， 设，则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， 即该水坝的高度为10米， 故选：D． 6. 如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 与的面积比为 C. 与的周长比为 D. 连接，则与的面积比为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 7. 对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根． 8. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，底面长方形的长为，宽为， ∵要使长方体盒子的底面积为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的关键． 9. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的长，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8）， ∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°， 由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°， 在直角三角形BEO中：， ∴， 设，则 在直角三角形ADE中：， ∴， 解得， ∴， ∵∠DEB=90°， ∴， 故选D. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 10. 如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（　　） A. 变长1m B. 变长1.2m C. 变长1.5m D. 变长1.8m 【答案】A 【解析】 【详解】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB， ∴，， 即， ， 解得：DE=1.5 m，HG=2.5 m， ∵HG﹣DE=2.5﹣1.5=1 m， ∴影长变长1m． 故选A． 11. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）m A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 12. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴，则， ∵OF∥BE， ∴△DGF∽△DCE， ∴， ∴，故①正确； ∴点G是CD的中点， ∴OG⊥CD， ∵∠ODC=45°， ∴△DOC是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； 过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示： ∵点F是CD的中点， ∴CF=DF， ∴∠CDE=∠DCF， ∴， 设，则， 在Rt△DHC中，， 解得：， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论是①②③⑤； 故选C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 13. 若是关于x的一元二次方程，则a可以为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．一元二次方程的一般形式：，据此进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 若，求代数式的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由，设，，再代入化简求值即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴， 故答案为：． 15. 已知|sinA﹣|+=0，那么∠A+∠B=　 　． 【答案】90° 【解析】 【分析】根据特殊角锐角三角函数值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：sinA=，tanB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， ∴∠A+∠B=90° 故答案为90° 【点睛】本题考查特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数值，本题属于基础题型． 16. 、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 17. 如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答． 【详解】解：设BC=a，则AC=2a ∵正方形 ∴EC=，∠ECD= 同理：CG=,∠GCD= ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键． 18. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E．由，可求出，进而由勾股定理可求出．再根据，，可设，则，，从而由可列出关于x的等式，解出x 的值，即可求出，，最后根据勾股定理可求出，进而可求出． 【详解】如图，过点D作于点E． ∵， ∴，即， 解得：， ∴． ∵，， ∴可设，则，． ∵， ∴ 解得：， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共84分．） 19. （1）计算： ； （2）计算：； （3）解方程． 【答案】（1）4；（2）；（3）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式，乘方，还考查了解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式，乘方化简，再进行加减即可； （2）先利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，乘方化简，再进行加减即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， 其中，，，，， ∴， ∴，． 20. 先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，5 【解析】 【分析】先对分式进行化简，然后根据分式有意义的条件选择一个合适的值代入求解即可． 【详解】解：原式=÷ ＝ ＝， ∵a（a+3）≠0，a+4≠0， ∴a≠﹣4，﹣3，0， ∴a＝1， 当a＝1时，原式＝． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出向左平移6个单位长度后得到的； （2）以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴右侧画出，直接写出的值． 【答案】（1） 如图，是所求作的图形； （2）如图，为所求，4 【解析】 【分析】（1）按要求作图即可求解； （2）求出缩小为原来的后顶点的坐标，描点，即可画出图形，再由位似的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点为位似中心，将缩小为原来的， ，，， ， 为所求作的图形； 由（1）得：， ． 【点睛】本题考查了网格中平移作图，平移的性质，作位似图形，位似的性质，掌握作法及性质是解题的关键． 22. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC； （2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC， ∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC， ∵∠AFB+∠AFE=180°， ∴∠C=∠AFB， ∴△ABF∽△BEC； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论； （2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长． 【详解】（1） 略 （2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE=90°， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得： BE=, 在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4， ∵BC=AD=5， 由（1）得：△ABF∽△BEC， ∴， 即， 解得：AF=2 ． 23. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根． （2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可； （2）当边长为2的边为腰时，则可知方程有一个根为2，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为2的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当腰长为2时，则可知方程有一个实数根为2， ∴，解得， ∴方程为，解得或， ∴三角形的三边长为，满足题意， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则可知方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 方程为，解得， ∴三角形的三边长为，，不满足题意． 综上，的周长为． 24. 如图，BE，CD是的高，连接DE. （1）求证：； （2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：. 【答案】 解：（1）∵BE，CD是的高， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴∠ABE=30°， ∴. 由（1）得，即， 又∵， ∴， ∴. 在中，M为BC的中点， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论； （2）由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，从而，然后证明，可得，根据中，M为BC的中点，可得，所以DE=DM． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质． 25. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 26. 如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点． （1）求线段的长； （2）求证四边形为菱形； （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 中，， ， ， 四边形为菱形； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据在中，，根据矩形的折叠与勾股定理即可求解； （2）根据（1）的结论分别求得，根据四边相等的四边形是菱形即可得证； （3）分和两种情况分别讨论即可求解． 【小问1详解】 解：如图 四边形是矩形，，， ，， 将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ，设，是直角三角形 设 由（2）可得 ①当时，如图， ，, 解得； ②当时， 同理可得 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江县实验中学2024年秋九年级期中质量检测数学试题卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．） 1. 四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则d等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某水坝的坡比为，坡长为20米，则该水坝的高度为（ ） A. 40米 B. 米 C. 20米 D. 10米 6. 如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 与的面积比为 C. 与的周长比为 D. 连接，则与的面积比为 7. 对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在一张长宽分别为和的长方形纸板上剪去四个边长为的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为，求x的值，根据题意，可列得的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　） A. B. C. D. 10. 如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（　　） A. 变长1m B. 变长1.2m C. 变长1.5m D. 变长1.8m 11. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）m A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 13. 若是关于x的一元二次方程，则a可以为_____． 14. 若，求代数式的值为_____． 15. 已知|sinA﹣|+=0，那么∠A+∠B=　 　． 16. 、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 17. 如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________． 18. 如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则______． 三、解答题（本大题共7个小题，共84分．） 19. （1）计算： ； （2）计算：； （3）解方程． 20. 先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出向左平移6个单位长度后得到的； （2）以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在轴右侧画出，直接写出的值． 22. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D． （1）求证：△ABF∽△BEC； （2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长． 23. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根． （2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 24. 如图，BE，CD是的高，连接DE. （1）求证：； （2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：. 25. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 26. 如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点． （1）求线段的长； （2）求证四边形为菱形； （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $