广东深圳市坪山区两校联考2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习

**基本信息** 2026-2027学年初三开学检测数学试卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，融合文化情境与实际问题，检测学生抽象能力、推理意识及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|分式意义、比例线段、平行四边形性质、相似三角形|第7题黄金分割与汉字结构结合，体现文化传承| |填空题|5/15|方程根、中点四边形、矩形性质|第11题中点四边形判定，考查推理意识| |解答题|7/61|分式方程、几何证明、利润问题、新定义“伴根方程”、问题探究|第17题网店利润问题培养模型意识，第20题问题链设计提升创新意识|

保密★启用前 2026-2027学年初三开学检测 数学试卷 2026.8 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．要使式子有意义，则(    ) A．x≠－3 B．x≠ 0 C．x≠2 D．x≠3 2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为(    ) A． B． C． D． 3．如图，在中，，则(    ) 第3题图 A．10 B． C． D． 4．下列命题中，是真命题的是（   ） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 5．已知，且关于的方程有两个相等的实数根，那么(　　) A．4 B．3 C．5 D．2 6．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） 第6题图 A． B． C． D． 7．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） 第7题图 A．1 B．2 C． D． 8．如图，正方形的边长为6，点E，F是边，上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接交于点H，若，则的长为（     ） 第8题图 A． B．3 C． D． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．长和宽分别为、的长方形，它的周长为12，面积为5，则______． 10．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m等于________． 11．如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号__________． 第11题图 12．如图，在中，，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，则的长为_______． 第12题图 13．如图，在矩形中，E是上一点，，连接，F是上一点，且，，则______． 第13题图 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14．（6分）解决下列问题： (1)解分式方程：； (2)解方程：． 15．（7分）如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且． 第15题图 (1)求证：； (2)当时，四边形是菱形吗？请说明理由． 16．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 第16题图 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 17．（8分）某网店专售一种商品，其成本为每件60元，当售价为每件80元时，每月可销售400件．已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，据市场调查发现：销售单价每提高5元，则每月少销售25件，设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件． （1）直接写出与的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为元，当销售价单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，求该商品的销售单价应该写在什么范围内？ 18．（10分）如图，是菱形的对角线． 第18题图 (1)在线段上确定一点，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 19．（10分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． (1)判断方程是否为“伴根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 20．（12分）【问题提出】 如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连接交于点，若，求的值． （1）猜想证明：小明想过点作交于点．请你根据他的思路，写出解答过程． 【问题探究】 （2）如图②，在中，点是边上的点，点是边延长线上的点，连接交的延长线于点．若，且的面积为2，求四边形的面积． 【问题解决】 （3）如图③，某市区需要改造一个矩形公园，其中两个门的位置点分别在边上，千米，千米，根据改造要求，需要增加步行通道，且与原步行通道交于点，将改造为休息长廊，由设计图知，求休息长廊的长． 初三数学试卷 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $保密★启用前 2026-2027学年初三开学检测 数学参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1 2 3 4 5 A B B D B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.30 10.-1 11.②③④（写不全不给分） 12.63 13. 9V3+8 9 三、解答题（本大题共7小题，共61分） D解寻 去分母，得x(x-1)-（x+1)(x-1)=3(x+1), 去括号，得x2-x-x2+1=3x+3, 期物：水=分 坠检验：x一)是原方程的解 (2)解：2x2+4x-3=0, a=2,b=4,c=-3, ∴.△=b2-4ac=16+24=40>0, ..x= -4±2W10-2±V10 4 2 则原方程的解为5-2，D,5=2,0 2 2 初三数学参考答案第1页共6页 2026.8 7 8 D 15.（1)证明：四边形ABCD是矩形， ∠B=∠D=90°，AB=CD,AD=BC,AD∥BC, AE=CF 在Rt△ABE和RtACDF中， AB=CD ..RtAABESRtACDF (HL): (2)解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下： .△ABE≌△CDF, .BE DF, .BC=AD, ..CE=AF, CE∥AF, ∴.四边形AECF是平行四边形， 又：AC⊥EF, 四边形AECF是菱形. 16.(1)证明：AB/1CD, .∠ABO=∠CDO, OB=OD,∠AOB=∠COD, ·.AAOB≌ACOD(ASA), .AB=CD. 又.AB/ICD, ∴.四边形ABCD是平行四边形 (2),四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, .四边形ABCD是菱形， ∴.四边形ABCD的周长=4×AB=32 初三数学参考答案第2页共6页 17.解：(1)每件商品的售价提高部分为x-80,每月销量减少部分-80×25=5(x-80)件， 5 每月的销售量为y=400-5(x-80)=-5x+800, .y与x的函数关系式为y=-5x+800: (2)由题意，得w=(x-60)y=(x-60)(-5x+800)=-5x2+1100x-48000, ,销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%， [x≥60 -60≤50%' 解得：60≤x≤90， 60 ,a=-5,∴.抛物线w=-5x2+1100x-48000开口向下， 对称轴为直线x=110,60≤x≤90， ∴.此时函数图象在对称轴的左侧，w随x的增大而增大， .x=90时，w取得最大值，W大=10500： 答：当销售单价x为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元. (3)根据题意得：-5x2+1100x-48000-300=7700, 解得：x=80,x2=140, 抛物线开口向下，∴.当80≤x≤140时，每月利润不低于7700元， 又，60≤x≤90，∴.当80≤x≤90时，每月利润不低于7700元， 答：为了保证捐款后每月利润不低于7700元，该商品的销售单价应该定在80元到90元之 间（含80元、90元）. 初三数学参考答案第3页共6页 18.(1)解：如图所示，作线段AB的垂直平分线交AC于F, E B (2)解：四边形ABCD是菱形， ∴.AD=CD,∠DAC=∠BAC,∠ABC=∠D=140° &∠DMc=∠DCA=1809,∠D=20°， 2 ∴.∠BAC=∠DAC=20°， 又FA=FB, ∠ABF=∠BAC=20°， ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=120° 19.(1)解：解方程x2+8x+15=0得x=-3,x2=-5, -3-(-5)=2, 方程是“伴根方程”： (2)解：x2-m-1)x-m=0, ∴.(x-mx+1)=0, .x-m=0或x+1=0, .x=m,x2=-1, 方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“伴根方程”， .m+1=2, ∴.m=1或m=-3. 初三数学参考答案第4页共6页 20.解：(1)如图，过点E作EG∥AB交CD于点G ,∴，△CEG∽△CAD, .CE=EG ·ACAD 爱日 CE=EG 1 AC AD 3 .AD=3EG, .AD 1 ·DB2' ∴.BD=2AD=6EG, :G1 BD 6 ,EG∥AB, ∴.△EFG∽ABFG, .EF=EG1 BF BD6 (2)如图，连接AF, AD 1 DB 2' △ACD的面积为2， ∴.△BCD的面积为4， ∴.△ABC的面积为2+4=6， :E1 AC 2 .△ABE的面积为3， 设△AFD的面积为x,则△AFC的面积为2+x, AD1 ·DB2 ∴.△ABF的面积为3x, AE 1 AC 2 ∴△AEF的面积为(2+x), ÷2+)+3x=3. 4 解得：x=7 初三数学参考答案第5页 0 E G C B 共6页 :四边形ADFE的面积为+77 4913 (3)延长AF,BC交于点M, ,四边形ABCD是矩形，AB=3,AD=6, .CD=AB=3,BC=AD=6, CF =2DF,CE=2BE M .DF=1,CF=2,CE=4,BE=2, .DE=V32+42=5 ADII BM, ∴.△ADF∽AMCF, 4D=DF I CM CF2 .CM=12, .EM=16, ADI BM .△ADP∽△MEP, DP=AD 6 3 PE ME 16 8 .DP= DE=1 15 119 延长AB,DE交于点N, 同理△BEN∽ACED, .BN=EN BE 1 “DC DE CE2' 3 SBN宝EN=) 2 w=号 ,AB∥DC, DO DF 1 2 ABNOAFDO,ONBN3-3. Q=2DN=3,.P9=D9-Dp=35 1即体息长念PO的长 8千米. 初三数学参考答案第6页共6页保密★启用前 2026-2027学年初三开学检测 数学试卷 2026.8 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1要衡式了号有意义，则《） A.x≠一3 B.x≠0 C.x≠2 D.x≠3 2.已知a,b,c,d是成比例线段，其中a=3cm,b=6cm,c=9cm,则线段d的长为() A.2cm B.18cm C.24cm D.17cm 3.如图，在口ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠D=() 第3题图 A.100 B.140° C.70° D.40 4.下列命题中，是真命题的是() A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 5.已知k>0,且关于x的方程3x2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k=() A.4 B.3 C.5 D.2 6.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC,BE与CD相交于点F, 则下列结论一定正确的是() D B 第6题图 A. D 、AE C.AD_DE DF EF DE-BC D. AB BF FC 初三数学试卷第1页共6页 7.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远” 端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且 AB∥P,“远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BC-5-」.若P=2, AB 2 则AC的长为() 第7题图 A.1 B.2 C.3-5 D.5 8.如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F是边AB,CD上的点，将正方形ABCD沿着EF 折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点A,连接DG交EF于点H,若 DG=210,则EH的长为() G 第8题图 A.0 B.3 2 c.3vò D. 5V10 2 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为12，面积为5，则a2b+ab2=」 10.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-m-2=0有一个根为0，则m等于 1I.如图，在任意四边形ABCD中，M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点.以下结论： ①当∠ABC=90°时，四边形MNPQ为正方形：②当AC=BD时，四边形MWPQ为菱形：③ 当AC⊥BD时，四边形MWPQ为矩形；④四边形MWPQ一定为平行四边形其中正确的序号 第11题图 初三数学试卷第2页共6页 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,CD为中线，延长CB至点E,使BE=BC, 连接DE,F为DE的中点，连接BF,若BF=3,则BC的长为 D B E 第12题图 B,如图，在矩形ABCD中，B是B上点，作-连接DE,P是BC上一点，且 5则C ∠DEF=30°，sin∠EDF= AB— 】 B 第13题图 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.(6分)解决下列问题： (1)解分式方程：x,-1=3 x+1x-1 (2)解方程：2x2+4x-3=0. 15.(7分)如图，在矩形ABCD中，E,F分别是BC,AD边上的点，且AE=CF. D 第15题图 (I)求证：△ABE≌△CDF; (2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由. 初三数学试卷第3页共6页 16.(9分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AC.BD相交于点O,且O是BD的中 点 D B 第16题图 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若AC⊥BD,AB=8,求四边形ABCD的周长. 17.(8分)某网店专售一种商品，其成本为每件60元，当售价为每件80元时，每月可销 售400件.已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不 得高于50%，据市场调查发现：销售单价每提高5元，则每月少销售25件，设每件商品的 售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y件. (1)直接写出y与x的函数关系式： (2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售价单价为多少元时，每月获得的利润最大， 最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生.为了保证捐 款后每月利润不低于7700元，求该商品的销售单价应该写在什么范围内？ 初三数学试卷第4页共6页 18.(10分)如图，AC是菱形ABCD的对角线. D B 第18题图 (I)在线段AC上确定一点F,使得FA=FB(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，连接FB,若∠D=140°，求∠CBF的度数. 19.(10分)如果关于x的一元二次方程2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,x2,且 x-x2=2,那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程x2+2x=0的两个根是 x=0,x2=-2,0-（-2)=2,方程x2+2x=0是“伴根方程”. (1)判断方程x2+8x+15=0是否为“伴根方程”： (2)已知关于x的方程x2+(m-1)x-m=0(是常数)是“伴根方程”，求m的值. 初三数学试卷第5页共6页 20.(12分)【问题提出】 如图①，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，连接BE,CD交于点F,若 0爱方水票世 BE (1)猜想证明：小明想过点E作EG∥AB交CD于点G.请你根据他的思路，写出解答过 程 【问题探究】 (2)如图②，在△ABC中，点D是边AB上的点，点E是边CA延长线上的点，连接BE,CD,BE 交CD的延长线于点F.若2-A仁-)且△ACD的面积为2，求四边形DFE的面积。 【问题解决】 (3)如图③，某市区需要改造一个矩形公园ABCD,其中两个门的位置点E,F分别在边 BC,CD上，AB=3千米，AD=6千米，根据改造要求，需要增加步行通道DE,且DE与 原步行通道AF,BF交于点P,Q,将PQ改造为休息长廊，由设计图知CF=2DF,CE=2BE, 求休息长廊PQ的长. B 图① 图② 图③ 初三数学试卷第6页共6页