培优02 旋转综合问题（专项训练）（9种题型12重难点突破）数学人教版九年级上册

培优02 旋转综合问题 （9种题型12重难点突破） 题型1 无刻度直尺作图—网格作图 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：    (1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分； (2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且． 2．（2024·江苏宿迁·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． (1)连接，请判断的形状，并说明理由； (2)请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹．    (1)以为旋转中心，将线段逆时针旋转至线段，连接； (2)作于； (3)将绕点顺时针旋转至，旋转角度等于． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，点是边上一点，在线段上画一点，使得； (2)在（1）的基础上，将平移到，画出线段． (3)在图（2）中，平行四边形对角线的交点为，在上画一点，使得，连接； (4)在（3）的基础上，将绕着点顺时针旋转的度数得到线段，点与点对应，点与点对应，画出线段． 题型2 无刻度直尺作图—非网格作图 5．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在正六边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图，连接，将绕点逆时针旋转，得到． (2)如图，是的中点，将绕点顺时针旋转，得到． 6．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹； (1)在图中将绕点逆时针旋转； (2)在图中在正方形内作以为顶点的正方形． 7．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知正方形，点F是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）， (1)在图①中，画出正方形的中心O；将线段绕正方形中心旋转； (2)在图②中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转； (3)在图③中，点F为正方形边上任意一点，作F关于的对称点H． 题型3 遇60°构造等边三角形 重难点一 点在等边三角形内 8．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图， (1)如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则______． (2)请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图2，中，，，E、F为BC上的点且，求证：． 9．（黑龙江省牡丹江市2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷）如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)求出的度数； (2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______． (3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______． 重难点二 点在等边三角形外 10．（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）【问题呈现】（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系； 小明同学给出了如下解决思路： 以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系．根据小明同学思路推出其数量关系并证明； 【类比探究】（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明； 【实际应用】（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系．（不写证明过程） 11．（23-24七年级下·广东佛山·期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 题型4 遇90°构造等腰直角三角形 重难点一 点在等腰三角形内 12．（24-25九年级上·吉林·期中）（1）如图①，在中，，过上一点作交于点，则_____．（填“”“”或“”） （2）发现：图②中的绕点顺时针旋转到图②位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，是等腰直角内一点，，且．直接写出的度数． 13．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； ②连接，此时______°； 【问题解决】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】 （3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求； 【思维拓展】 （4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 重难点二 点在等腰三角形外 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，D是内一点，，，，，，求的长． 15．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）在中，，，为平面内一点． (1)当在线段上时，将线段绕点顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，试判断与的位置关系并证明； (2)在（1）的条件下，连接交于，过点作的垂线交延长线于点，试判断线段与的数量关系并证明； (3)如图2，点位于上方，且，的面积为9，直接写出的长度． 16．（22-23九年级上·浙江台州·期末）问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)请帮助小明完成他的证明过程； 证明：将绕点C顺时针旋转得到， __________，__________，． ， ， ，即三点共线． ， __________， __________，即平分． (2)应用：在图1中，若，则__________； (3)迁移：如图2，，若，求的长； (4)拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案） 重难点三 点在等腰三角形边上 17．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，把绕顺时针旋转到，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，点为平面内一点，若，，请直接写出的值． 18．（第二十三章旋转突破15构旋转（五）夹半角模型）如图，在中，为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接．求证：． 19．（四川省凉山州宁南县初级中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，把绕A顺时针旋转到，，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接BP，求证：； 题型5 遇α°构造手拉手模型 20．（23-24九年级上·河南周口·期中）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．    (1)探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 21．（23-24九年级上·四川德阳·期末）已知，在中，，点M为边上一点，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当，时，若，求的值． 22．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）已知是等腰三角形，，，点D为边上一点，连接．    (1)如图1，，，将绕着点A顺时针方向旋转与相同的度数得到，连接，若，求的长度． (2)如图2，将线段绕点D逆时针旋转到，连接，点O为线段的中点，连接，证明： (3)点Q为平面内一点，若，，请直接写出的值．   23．（23-24八年级上·山东济宁·期末）在中， （ ），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．    (1)如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； (2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，， ①求证； ②求出的度数． (3)如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明． 题型6 费马点模型 24．（24-25九年级上·云南临沧·期末）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 25．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 26．（24-25九年级上·广东惠州·期末）【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 27．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 28．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 题型7 坐标系中的旋转问题 常见的两种方法：1）构造手拉手旋转型全等 2)构造一线三等角型全等 重难点一 旋转30° 29．（24-25九年级上·陕西西安·期中）线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，线段与轴的夹角为，现将线段绕点旋转，得到线段，则点的坐标为 ． 重难点二 旋转45° 30．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式 ． 31．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P绕着原点O顺时针旋转后的坐标为 ． 重难点三 旋转60° 32．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，已知直线与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且，点C为x轴的正半轴上一点，将线段绕点C按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则 ． 33．（2024·江苏镇江·二模）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是 ． 34．（2023·江苏泰州·三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 重难点四 旋转90° 35．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ． 36．（22-23八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点 O 逆时针旋转至，则点B的坐标是 ．    重难点五 旋转120° 37．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在平面直角坐标系中，的两条直角边、分别在轴和轴上，，．把绕点顺时针旋转，得到．边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，点的坐标为 ； 38．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，则点B的对应点所在位置的坐标是 ． 重难点六 旋转135° 39．（2024九年级·全国·竞赛）将点绕坐标原点按逆时针方向旋转后得到点，点的坐标是 ． 40．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的横坐标是 ． 重难点七 旋转150° 41．（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，与x轴正向的夹角为，已知点A的坐标为，将线段绕原点O旋转得点，则此时点的坐标为 ． 42．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，P点坐标为，现将点A绕P逆时针旋转得到点B，则点B的纵坐标为 ． 题型8 旋转与多解问题 43．（2025·江西萍乡·二模）综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点与的中点重合，， 观察发现 （1）①的长为___________； ②如图1，设与的交点为，则的长为___________． 类比迁移 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，连接． ①当旋转角为时，求的长； ②当时，请直接写出以为边的正方形的面积． 拓展应用 （3）如图3，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，当最大时，求以为边的正方形的面积． 44．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）综合与实践 如图，在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针旋转得到（点是点的对应点），连接．    (1)观察发现： 如图1，当且时，与满足的数量关系是______． (2)类比探究： 如图2，当且时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)拓展应用： 如图3，在（1）的基础上，以为对角线作正方形，且正方形的边长为，将绕点顺时针旋转，得到，连接，当点恰好落在直线上时，求线段的长． 45．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F． 解决问题： （1）四边形是（    ） A．平行四边形    B．矩形    C．正方形 （2）若，，则四边形的面积为________； 深入探究： （3）将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E、B的对应点分别为点G、H． ①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段、交于点M、N．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线直线交于点N．若，，则线段的长度为________． 46．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动． (1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请写出图中一个度数为的角：______； (2)【解决问题】如图2，小明将长方形绕点A顺时针旋转后，边与边交于点M，连接，若，，求矩形的面积； (3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，，若，，请求出的面积． 题型9 旋转与最值问题 47．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）综合与实践 如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上一动点（含，两个顶点），连接，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．探究的面积与点移动的关系． 特例感知 （1）如图1，当时，求的面积． 规律探究 （2）如图2，若设，的面积为，求与之间的函数解析式，并求出的最小值． 数学思考 （3）如图3，连接，当的长最小时，求的面积． 48．（24-25九年级上·全国·期末）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边，的中点，，． (1)将绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点C逆时针旋转（如图2），求的长． 49．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，E是正方形边上不与B，C重合的一动点，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于G，交于H，连接． 【知识技能】（1）写出和的数量关系，并证明你的结论： 【数学理解】（2）①若．求面积的最大值． ②若，，则正方形的边长为______． 【拓展探索】（3）求证：． 50．（24-25八年级下·重庆大足·期末）已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优02 旋转综合问题 （9种题型12重难点突破） 题型1 无刻度直尺作图—网格作图 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：    (1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分； (2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． （1）根据题意，结合全等三角形的性质和平行四边形的性质，即可解答； （2）根据全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； 2．（2024·江苏宿迁·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，将线段绕点A顺时针旋转后得到线段． (1)连接，请判断的形状，并说明理由； (2)请在线段上作一点G，并连接，使得（要求：仅用无刻度的直尺作图，不写作法）． 【答案】(1)等腰直角三角形；理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，旋转的性质，网格作图． （1）由旋转的性质即可得到是等腰直角三角形； （2）取格点，连接，交于点，连接并延长交线段于点G，利用矩形的性质知点是的中点，，即． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形； 理由：∵将线段绕点A顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，线段即为所求． ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹．    (1)以为旋转中心，将线段逆时针旋转至线段，连接； (2)作于； (3)将绕点顺时针旋转至，旋转角度等于． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的射线解决问题． （1）根据旋转变换的性质作出点的对应点即可； （2）取格点，，连接交于点，连接，线段即为所求； （3）取点，使得，取格点，作射线（目的使得旋转角），取格点，连接交于点（目的使得），即为所求． 【详解】（1）解：根据旋转变换的性质，在网格中取格点，连接线段， 如图：    （2）解：取格点，，连接交于点，连接，如上图， 根据网格知识，， 又∵， ∴． （3）解：取点，使得，取格点，作射线，则，取格点，连接交于点，即，则即为所求，如上图所示． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，点是边上一点，在线段上画一点，使得； (2)在（1）的基础上，将平移到，画出线段． (3)在图（2）中，平行四边形对角线的交点为，在上画一点，使得，连接； (4)在（3）的基础上，将绕着点顺时针旋转的度数得到线段，点与点对应，点与点对应，画出线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）延长BE交网格线于点Z，取格点K，连接交于点F，点F即为所求； （2）线段交网格线于点I，连接，延长交于点G，线段即为所求； （3）取格点J，连接交于点H，连接，点H即为所求； （4）取格点M，P，连接交于点N，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求； 理由：如图，连结，，， ∵，，， ∴五边形是轴对称图形，直线就是它的对称轴， ∴将五边形沿直线对折，点与点重合，点与点重合，点在对称轴上， ∴与重合， ∴点与点是对称点， ∴； （2）如图，线段即为所求； 理由：交过点的网格线于点，连结交的延长线于点， 由对称性可知，， 所以， 所以， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即将向右平移4个单位得到； （3）如图，点H即为所求； 理由：连结，， ∵，， ∴， 又四边形是平行四边形，对角线与交于点， ∴， ∴， ∴直线垂直平分， 又点在上， ∴； （4）如图，线段即为所求． 理由：由图可知，， 又， ， ， 又，， ，， ， ． 绕着点顺时针旋转的度数得到线段， 点与点对应，点与点对应，线段即为所求作． 【点睛】本题考查了平移作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，性质的性质，解题关键是掌握相关知识解决问题． 题型2 无刻度直尺作图—非网格作图 5．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在正六边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图，连接，将绕点逆时针旋转，得到． (2)如图，是的中点，将绕点顺时针旋转，得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的定义、无刻度直尺作图，正六边形的性质、勾股定理，理解旋转的定义和无刻度直尺作图的常见方法是解答本题的关键． 根据正六边形的性质可得正六边形的每个内角都是，将绕点逆时针旋转，与重合，延长与的延长线的交点即为点； 连接、相交于点，连接，线段即为绕点顺时旋转得到的线段． 【详解】（1）解：如下图所示， 正六边形的每个内角的度数是， ， 将绕点逆时针旋转，与重合， 延长与的延长线的交点即为点；     （2）解：如下图所示， 过点作垂足在的延长线上，设正六边形的边长为， ， ， ， 又点是的中点， ， ， ， ， 连接交于点， 则，，， ，， ， ，， ， ， 连接，过点作， 则， ，， 则， ， ， ， 即为绕点顺时旋转得到的线段． 6．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹； (1)在图中将绕点逆时针旋转； (2)在图中在正方形内作以为顶点的正方形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）连接相交于点，连接并延长交于，可得点为的中点，连接交的延长线于点，连接，易证明，得到，进而可证明，即得，得到，故得为绕点逆时针旋转得到； （）连接交于点，连接与相交于点，连接并延长交于点，连接，得到四边形，由正方形的对称性可得，进而可得，即可证明，得到，进而可得，即可得四边形为正方形； 本题考查了作旋转变换的图形，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 7．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知正方形，点F是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）， (1)在图①中，画出正方形的中心O；将线段绕正方形中心旋转； (2)在图②中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转； (3)在图③中，点F为正方形边上任意一点，作F关于的对称点H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接交于点O，连接，延长交于点H，连接即可； （2）连接交于点G，连接并延长交于点E，分别连接，交于点O，作直线即可； （3）连接交于点O，连接并延长交于点H，点H即为所求． 【详解】（1）如图，点O，线段即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）如图，点HE即为所求； 【点睛】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型3 遇60°构造等边三角形 重难点一 点在等边三角形内 8．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图， (1)如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则______． (2)请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图2，中，，，E、F为BC上的点且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将绕顶点旋转到，连接，根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答． （2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证． 【详解】（1）解：将绕顶点旋转到，连接， ， 、、， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ． 故答案为： （2）证明：如图2中，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 9．（黑龙江省牡丹江市2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷）如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题． (1)求出的度数； (2)如图1，在等边内有一点P，若，，，则______． (3)如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出 ； （2）将逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出 ； （3）将△APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知，求证，用勾股定理逆定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：将逆时针旋转得到； ∵由旋转所得， ∴， ∴，，，， 在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，即， ∴， ∴， ∴； （2）将逆时针旋转得到； ∵由旋转所得， ∴， ∴，，，， 在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，，即， 在中，，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）将绕A点顺时针旋转90°得，连接， ∵由旋转所得， ∴， ∴，，， 在中，，且， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练的运用旋转的性质作出辅助线是解题的关键． 重难点二 点在等边三角形外 10．（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）【问题呈现】（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系； 小明同学给出了如下解决思路： 以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系．根据小明同学思路推出其数量关系并证明； 【类比探究】（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明； 【实际应用】（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系．（不写证明过程） 【答案】（1）；理由见解析；（2）（1）中的结论改变，，理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到所需的数量关系； （2）如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到所需的数量关系； （3）如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到三者间的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为边作等边，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）（1）中的结论改变，，理由如下； 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， 如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，是的中点， ∴，， ∴， 如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键． 11．（23-24七年级下·广东佛山·期中）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求的度数． 为了解决本题，我们可以以为一边在右侧做等边三角形，连接，此时可证，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题． 已知，如图②，点P为等边外一点，，，，求长． （3）能力提升 如图③，在中，，，，点D是上一点，线段绕点D顺时针旋转，点B的对应点为点E，当为直角三角形时，求面积． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； （3）由，可得，，，即可求解． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （2）如图②，将绕点顺时针旋转60度，得到，连接，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）当点与点重合时，线段绕点顺时针旋转， ，， 是等边三角形， ， ，， 为直角三角形， ， ，，， ， 如图③，延长至，使，连接，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，，， 又， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质，旋转的性质，利用旋转的性质添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型4 遇90°构造等腰直角三角形 重难点一 点在等腰三角形内 12．（24-25九年级上·吉林·期中）（1）如图①，在中，，过上一点作交于点，则_____．（填“”“”或“”） （2）发现：图②中的绕点顺时针旋转到图②位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，是等腰直角内一点，，且．直接写出的度数． 【答案】（1）＝；（2）成立，证明见解析；（3）． 【分析】（1）由，得到，结合，得到； （2）由旋转得到的结论判断出，得到； （3）由旋转构造出，再用勾股定理计算出，然后用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，在简单计算即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立． 证明： ，， ， 由旋转性质可知， 在和中， ， ， ； （3）如图，将绕点旋转得，连接， ， ，，， ， 在中，由勾股定理可得，， 在中，，，， ， 是直角三角形 ， ， 又， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，平行线分线段成比例定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点． 13．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）【操作发现】 （1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为； ②连接，此时______°； 【问题解决】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】 （3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求； 【思维拓展】 （4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2）5；见解析；（3）3；（4）． 【分析】（1）①根据题意在网格上作出图形即可，②由①可知是等腰直角三角形，则可以求出； （2）将绕点按逆时针方向旋转，可得是等边三角形，再用勾股定理求得； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接可得是等腰直角三角形，再用勾股定理求得； （4）将绕点逆时针旋转，得到，连接，得到是等腰直角三角形，继而用勾股定理及其逆定理求解即可． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②，， ； （2）如图， ∵将绕点按逆时针方向旋转，得到， ∴， ，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （3）∵是等腰直角三角形， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到，连接，如图： 则，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴． （4）将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，本题难度较大，正确的添加常用辅助线是解题的关键． 重难点二 点在等腰三角形外 14．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，D是内一点，，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将线段顺时针旋转得到，利用证明，得，设，则，利用勾股定理列方程即可解决问题． 【详解】解：如图所示，将线段顺时针旋转得到， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 设与的交点为， 在中，，，， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， ，，， ． 15．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）在中，，，为平面内一点． (1)当在线段上时，将线段绕点顺时针旋转至，连接，请你在图1中完成作图，试判断与的位置关系并证明； (2)在（1）的条件下，连接交于，过点作的垂线交延长线于点，试判断线段与的数量关系并证明； (3)如图2，点位于上方，且，的面积为9，直接写出的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意即可完成作图；连接，证明得，即可得； （2）在线段上截取，连接，先证明，则,再证明，则，证明完成； （3）过点A作交于N，连接，证明，得，由的面积为9，即可求得结果． 【详解】（1）补充作图如下： 与的位置关系为， 连接，如图， ，， 由旋转性质得：， ， ， 在与中， ， ∴， ， ， ． （2），证明如下： 如图，在线段上截取，连接， ，， ， 由（1）知， ， 由（1）知， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ． （3）如图，过点A作交于N，连接， 则， ， ， ， ， ， ， 在与中， ，， ， 的面积为9， ， 即， ． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，证明全等是本题的关键． 16．（22-23九年级上·浙江台州·期末）问题背景：如图1，在四边形中，若，则平分．小明为了证明这个结论，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)请帮助小明完成他的证明过程； 证明：将绕点C顺时针旋转得到， __________，__________，． ， ， ，即三点共线． ， __________， __________，即平分． (2)应用：在图1中，若，则__________； (3)迁移：如图2，，若，求的长； (4)拓展：如图3，以等腰的一边作等腰，且，连接，已知，则的值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)；（或）；； (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质，补角的性质，等腰三角形的性质进行解答即可； （2）先求出，根据为等腰直角三角形，求出即可； （3）将绕C点顺时针至．先证明B，A，三点共线，根据，求出，根据等腰直角三角形性质得出； （4）过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G．证明，得出，证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，求出；当在左侧时，连接．求出，得出． 【详解】（1）证明：将绕点C顺时针旋转得到， ，，， ， ， ，即三点共线， ， ， ∴，即平分 故答案为：；（或）；；． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵三点共线， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，将绕C点顺时针至， ， ， ， ， ∴B，A，三点共线， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ． （4）解：如图，过点B作于点E，，过点D作于点F，交AC延长线于点G． ， ∴设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ； 当在左侧时，连接， ， ∴，， ∵， ， ， ． 综上，或． 故答案为：或． 【点睛】本题属于探究型题目，主要考查三角形的旋转和全等三角形的应用．各小问之间的关系较为密切．往往前一问的结论可作为下一问的条件或是作为下一问的思考方向．本题（1）问中引入了全等三角形的旋转模型，这便为后面几问的解答给予启发，第（2）问可直接以（1）中的结论为条件得出答案，（3）（4）则顺着（1）中的思考方向作为解答，通过对所求线段进行藏转，构造垂直关系和全等三角形，从而使问题得以解决．注意第（4）问中对进行旋转时，方向具有不确定性，需进行分类讨论． 重难点三 点在等腰三角形边上 17．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，把绕顺时针旋转到，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，点为平面内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质及含30度直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质得出，结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）延长至，使，连接，．根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，即可证明； （3）根据题意将三角形绕点逆时针旋转到三角形处，连接，然后分两种情况，当在三角形外部时，当在三角形内部时，分别利用旋转的性质及等腰三角形的性质、含30度直角三角形性质及勾股定理得出，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 把绕顺时针旋转到， ，． ． ． 即． ． ，． ． ， ． ，， ． ． ． （2）证明：延长至，使，连接，． 以为底边得等腰直角， ，，． 垂直平分． ， ． ． ． 即． ． ． ． ． ． （3）解：如图将三角形绕点逆时针旋转到三角形处，连接． 当在三角形外部时，如图所示： ∵，， ∴， ∵三角形绕点逆时针旋转到三角形处， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 当在三角形内部时， 同理得：， 则，由勾股定理得， ∴． 综上可得：的值为或． 18．（第二十三章旋转突破15构旋转（五）夹半角模型）如图，在中，为边上一动点，以为斜边在右侧构造等腰，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判断，勾股定理，将绕点逆时针旋转得到线段，可得，是等腰直角三角形，判断，得出、、三点共线，利用等腰三角形的性质证明是中点，证明，利用勾股定理即可求解． 【详解】证明：将绕点逆时针旋转得到线段，连接， 将绕点逆时针旋转得到线段， ，，， ， ， 又， ∴， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， 、、三点共线， ，， ， ∵是直角三角形， ， ，即， ， ∵， ． 19．（四川省凉山州宁南县初级中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，把绕A顺时针旋转到，，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的左侧作等腰直角，连接BP，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质及含30度直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质得出，结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）延长至，使，连接，．根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，即可证明； 【详解】（1），， 把绕顺时针旋转到， ，． ． ． 即． ． ，． ． ， ． ，， ． ． ． （2）证明：延长至，使，连接，． 以为底边得等腰直角， ，，． 垂直平分． ， ． ． ． 即． ． ． ． ． ． 题型5 遇α°构造手拉手模型 20．（23-24九年级上·河南周口·期中）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．    (1)探究发现 如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ． (2)类比延伸 如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由． (3)迁移应用 如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论； （）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论． 【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，    由旋转性质可知：，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，    由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（23-24九年级上·四川德阳·期末）已知，在中，，点M为边上一点，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当，时，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过证明，得出，进而得出，即可求证； （2）根据旋转的性质推出，进而得出点A、N、C、M四点共圆，则，推出，过点A作于点H，则，，设，则，则，，最后得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，线段绕点A按顺时针方向旋转α得到， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A、N、C、M四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点H，则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）已知是等腰三角形，，，点D为边上一点，连接．    (1)如图1，，，将绕着点A顺时针方向旋转与相同的度数得到，连接，若，求的长度． (2)如图2，将线段绕点D逆时针旋转到，连接，点O为线段的中点，连接，证明： (3)点Q为平面内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转性质得：，由勾股定理即可求解； （2）将绕点D顺时针旋转到，连接，，根据条件可证明四边形为平行四边形，可得，即可求解； （3）分两种情况：①当点Q在三角形内部，如图，将绕点A顺时针旋转，得到，可得，过点A作，设，则，可得，，即可求解；②当点Q在三角形外部，如图，将绕点A顺时针旋转，得到，设，则，由①可知，，则，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得：， ∵，， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点D顺时针旋转到，连接，，    ∵，， ∴， ∵， ∴，，， 故， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∵点O为中点，所以与相交于点O且O为中点， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：①当点Q在三角形内部，如图，将绕点A顺时针旋转，得到，   ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点A作，设，则， ， ， ， ， ， ； ②当点Q在三角形外部，如图，将绕点A顺时针旋转，得到，   ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，由①可知，， ∵，则， ； 综上所述：的值为或； 【点睛】此题考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质， 熟练掌握勾股定理和直角三角形的性质是解题的关键． 23．（23-24八年级上·山东济宁·期末）在中， （ ），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．    (1)如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； (2)如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，， ①求证； ②求出的度数． (3)如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析  ② (3) 【分析】（1）根据角推导出，由旋转可知，则，即可证明是的中点； （2）①先推导出是的中位线, 则，再由（1）可知，可推导出是等腰三角形，则，再由是的中点，即可证明； ②由①可知，即可得； （3）延长至，使，连接，能推导出是的中位线，设，，证明，可得，再由，得到，即可求． 【详解】（1）证明: ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴是的中点； （2）①证明: ∵， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， ∵， ， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是的中点, ∴； ②由①可知, ， ∴； （3）延长至，使，连接、，    ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 设， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 题型6 费马点模型 24．（24-25九年级上·云南临沧·期末）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示，可得是等边三角形，，，在中，，，，可得，则是直角三角形，所以，在中，，，则，，在中，由勾股定理得：，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示，可证和均为等边三角形，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“两点之间线段最短”得：，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 即， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质，“费马点”模型的计算是关键． 25．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 26．（24-25九年级上·广东惠州·期末）【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 【答案】（1）等边；两点之间，线段最短；；A；（2）5 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，将三角形进行旋转是解题的关键： （1）根据等边三角形的判定和性质，以及两点之间线段最短，以及旋转的性质和全等三角形的性质，进行作答即可； （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，进而得到当在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． 分析如下：， 为等边三角形； ， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ， ， 由旋转可知， ， ， ； ， ， ， 三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又已知当有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点． 该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 由旋转性质可知：， ， 最小值为5． 27．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转的性质得，即可求解； （2）同理将绕点逆时针旋转得到，当四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于，同理可得 ，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 是等边三角形， ， 四点在同一直线上， ， ， 由旋转得： ， ， ； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时， 由旋转得：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中 ， 故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时， 最小， 此时 ， 由旋转得：， ， ， 设正方形的边长为，则有 ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：，（舍去）， ， 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，正方形的性质；掌握“费马点”典型模型的解法是解题的关键． 28．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求： （1）的最小值； （2）的最小值 （3）的最小值； （4）的最小值 （5）的最小值； （6）的最小值 （7）的最小值； （8）的最小值 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8） 【分析】（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可； （2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案； （4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解； （5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可； （6）由可由（5）得：的最小值为26； （7）由可由（4）得的最小值为； （8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为 同理可证为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值为； （2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴， 过点C作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为 ∵， ∴ ∴， 过点A再作的垂线，垂足为E， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为； （4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接 由旋转的性质得，，，， ∴，，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当，，，共线时最小，最小为， ∵， ∴， ∴的最小值为； （5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到， 同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为， ∵，在中，， ， 最小为； （6）∵ ∴由（5）得：的最小值为26； （7）∵ ∴由（4）得的最小值为； （8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到， 同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小． 在中，，， 过点作交延长线于E， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小． 题型7 坐标系中的旋转问题 常见的两种方法：1）构造手拉手旋转型全等 2)构造一线三等角型全等 重难点一 旋转30° 29．（24-25九年级上·陕西西安·期中）线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，线段与轴的夹角为，现将线段绕点旋转，得到线段，则点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】当线段绕点O逆时针旋转时，得到线段，点在y轴上，，可得点的坐标为；当线段绕点O顺时针旋转30°时，得到线段，过点作轴于点B，此时，则，则点点的坐标为，进而可得答案． 【详解】解：当线段绕点O逆时针旋转时，得到线段， ∵线段与x轴的夹角为， ∴点在y轴上， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当线段绕点O顺时针旋转30°时，得到线段， 过点作轴于点B， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 重难点二 旋转45° 30．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 作交于，过点作轴于，可证明，得，，设，则，，再根据图象上点的坐标特征求得的值，再由待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：作交于，过点作轴于， 一次函数的图象分别交，轴于点，， ，， ，， ，， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， 把代入得，， 解得， ， 设直线为， ， ， 直线的函数表达式为． 故答案为：． 31．（22-23九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，将点P绕着原点O顺时针旋转后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题综合考查全等三角形与一次函数，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，即可得到，可求出点坐标和直线解析式，最后根据求出点坐标即可． 【详解】如图，将点P绕着原点O顺时针旋转后点为，过作交于，于，过作于，    由题意可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴直线直线解析式为， ∴设， ∵在第一象限， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点三 旋转60° 32．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，已知直线与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，且，点C为x轴的正半轴上一点，将线段绕点C按顺时针方向旋转得线段，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】如图，过点作，使得，连接．证明，推出，在中，求出，再求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点B作，使得，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 33．（2024·江苏镇江·二模）直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点B绕点A旋转60°后对应点的纵坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化旋转．根据题意画出示意图，结合所画图形对顺时针旋转和逆时针旋转进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：将代入一次函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以点的坐标为． 当点绕点逆时针旋转时，如图所示， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 在中， ， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以点和点关于轴对称， 所以点的纵坐标为． 当点绕点顺时针旋转时，如图所示， 在中， ， 由旋转可知， ，， 所以， 即轴， 所以点的纵坐标为． 综上所述，点绕点旋转后对应点的纵坐标是或． 故答案为：或． 34．（2023·江苏泰州·三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，根据绕点逆时针旋转的对应点为，可得是等边三角形，故，，从而可得，，记知，，又，可求出，，再用待定系数法可得答案． 【详解】解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：   绕点逆时针旋转的对应点为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， 设直线解析式为，将，，，代入得： ， 解得， 直线解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线上两个点的坐标． 重难点四 旋转90° 35．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，过点作轴于点，证明，推出，，可得结论．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：过点作轴于点， ∵，， ∴，， 由旋转可知： ，，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（22-23八年级下·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点 O 逆时针旋转至，则点B的坐标是 ．    【答案】 【分析】过点作轴于点，轴于点，证明，得到，即可得到点B的坐标． 【详解】过点作轴于点，轴于点，则：，    ∵点，绕坐标原点 O 逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与旋转．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 重难点五 旋转120° 37．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在平面直角坐标系中，的两条直角边、分别在轴和轴上，，．把绕点顺时针旋转，得到．边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，点的坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变换旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，得出的最小值的最小值，作点关于直线的对称点，连接交于，则的最小值，过作轴于，解直角三角形得到，求出，根据轴对称的性质得到，求出直线的解析式为，于是得到结论． 【详解】解：∵把绕点顺时针旋转，得到，点是边上的一点， ， ∴的最小值的最小值， 作点关于直线的对称点，连接交于， 则最小， 过作轴于， ， ， ， ， ∴， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，则点B的对应点所在位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据含的直角三角形三边的关系得到和的长，再根据三角形绕点顺时针旋转，过作轴于，再根据旋转的性质得到，求出即可解答． 【详解】解：∵， ， ∵三角形绕点顺时针旋转， 如图，过作轴于， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 点所在位置的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理的应用、坐标与图形等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． 重难点六 旋转135° 39．（2024九年级·全国·竞赛）将点绕坐标原点按逆时针方向旋转后得到点，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，等腰直角三角形的性质，作轴于，由题意得，由旋转的性质可得，，则，从而得出是等腰直角三角形，即可得出，从而得出答案． 【详解】解：如图，作轴于， ，点的坐标为， ， 将点绕坐标原点按逆时针方向旋转后得到点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标是， 故答案为：． 40．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在轴上截，连接，过点作轴于点，在左侧截取，连接，证明，由全等三角形的性质得∴，再由勾股定理得，最后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在轴上截，连接，过点作轴于点，在左侧截取，连接， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点七 旋转150° 41．（22-23九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，与x轴正向的夹角为，已知点A的坐标为，将线段绕原点O旋转得点，则此时点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】分两种情况讨论：当线段绕原点O逆时针旋转得点时，当线段绕原点O顺时针旋转得点时，即可求解． 【详解】解∶∵点A的坐标为， ∴， ∴， 当线段绕原点O逆时针旋转得点时， ∵与x轴正向的夹角为， ∴此时点落在x轴负半轴， ∴此时点的坐标为； 当线段绕原点O顺时针旋转得点时，如图，过点A作于点B， 过点作轴于点C，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点的坐标为； 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 42．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，P点坐标为，现将点A绕P逆时针旋转得到点B，则点B的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据A点，P点的坐标求出，再作图：将绕点逆时针旋转90度，即得出，再连接，过点A作轴，过点G作轴，证明，得出，然后运用有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，证明是等边三角形，，根据点的坐标求点与点的距离列式计算，再运用公式法解，即可作答． 【详解】解：∵A点坐标为，P点坐标为， ∴， 如图：将绕点逆时针旋转90度，即得出，再连接，过点A作轴，过点G作轴， ∵将绕点逆时针旋转90度，即得出，再连接，过点A作轴，过点G作轴， ∴，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转90度，即得出， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵现将点A绕P逆时针旋转得到点B， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设， ∴， 整理得， 把代入， 得， 整理的， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（点在第三象限，故舍去）； ∴， ∴点的坐标为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转性质、坐标与图形，勾股定理，公式法解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型8 旋转与多解问题 43．（2025·江西萍乡·二模）综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点与的中点重合，， 观察发现 （1）①的长为___________； ②如图1，设与的交点为，则的长为___________． 类比迁移 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，连接． ①当旋转角为时，求的长； ②当时，请直接写出以为边的正方形的面积． 拓展应用 （3）如图3，取的中点，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，当最大时，求以为边的正方形的面积． 【答案】（1）①4， ②2， （2）①，②或，（3） 【分析】（1）①根据题意求得和的长，由中点求得，再由等腰直角三角形得和即可； ②由等腰直角三角形的性质判定等腰直角三角形，则即可； （2）①连接，过点M作于点N，则为等边三角形，，且，由（1）知，求得和，即有； ②分两种情况：过点D作交的于点F，连接，根据求得和，结合勾股定理求得即可；过点D作交的于点F，连接，则，，利用勾股定理求得即可； （3）根据题意求得，可知点P的轨迹为以点A为圆心长为半径的圆上运动，当点P、点A和点M三点共线时，最大，此时，，，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）①∵等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵与的中点重合， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 故答案为：4； ②∵等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴； 故答案为：2； （2）①连接，过点M作于点N，如图， 由题意可知，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， 则； ②如图，过点D作交的于点F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 则以为边的正方形的面积； 如图，过点D作交的延长线于点H，连接， 同理可得，，， ∴， 则以为边的正方形的面积； 故以为边的正方形的面积或； （3）∵点为的中点， ∴， 由题意可知点P的轨迹为以点A为圆心长为半径的圆上运动，如图， 当点P、点A和点M三点共线时，最大， 如图， 此时，，， ∴， 则以为边的正方形的面积． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和判定、旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理和三点共线，解题的关键是求得点的运动轨迹和掌握等腰直角三角形的性质． 44．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）综合与实践 如图，在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针旋转得到（点是点的对应点），连接．    (1)观察发现： 如图1，当且时，与满足的数量关系是______． (2)类比探究： 如图2，当且时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)拓展应用： 如图3，在（1）的基础上，以为对角线作正方形，且正方形的边长为，将绕点顺时针旋转，得到，连接，当点恰好落在直线上时，求线段的长． 【答案】(1) (2)结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）证明即可求证； （2）同理（）即可求证； （3）根据题意分两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：结论成立，理由如下：如图2，   ∵，， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，当点在线段上时，过点作于点，连接，    ∵正方形的边长为， ∴， 由旋转可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 如图4，当点在延长线上时，过点作于点，连接， 同理可得，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，掌握旋转的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 45．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F． 解决问题： （1）四边形是（    ） A．平行四边形    B．矩形    C．正方形 （2）若，，则四边形的面积为________； 深入探究： （3）将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E、B的对应点分别为点G、H． ①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段、交于点M、N．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线直线交于点N．若，，则线段的长度为________． 【答案】（1）B；（2）；（3）①，理由见解析；②或 【分析】（1）利用菱形的性质，结合题干条件，即可判断四边形的形状； （2）利用含30度的直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，进而结合菱形性质得到，最后根据矩形面积公式求解，即可解题； （3）①理由旋转的性质和菱形的性质证明，，进而得到，再利用线段的和差求解，即可解题； ②过点A作于点Q，分情况讨论当在线段上时，利用勾股定理求出，利用菱形的性质证明，得到，再结合旋转的性质得到，并证明四边形为正方形，得到，根据求解即可，当在延长线上时同理可得，，根据求解，即可解题． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ， 于点E， 于点F， ， ， 四边形是矩形； 故选：B； （2） ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形的面积为 ， 故答案为：． （3）①，理由如下： 绕点A逆时针旋转，得到， ，，，， ， 四边形是菱形， ，， 为菱形的对角线， ， ， 又，， ， ， ， ， 即； ②过点A作于点Q， 当在线段上时； ，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，，，， ， ， 四边形为正方形， ， ； 当在延长线上时； 同理可得，，， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，含30度的直角三角形性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键． 46．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动． (1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请写出图中一个度数为的角：______； (2)【解决问题】如图2，小明将长方形绕点A顺时针旋转后，边与边交于点M，连接，若，，求矩形的面积； (3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，，若，，请求出的面积． 【答案】(1)或 (2) (3)的面积是或 【分析】（1）可推出，从而得出结果； （2）根据旋转可得，即可得到，进而得出，然后利用矩形的面积解答即可； （3）当线段与交于点时，作于，可证得从而，，进而得出，从而得出，进而得出，求出三角形的面积；当的延长线交于点时，同样得方法得出结果． 【详解】（1）解：∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：或； （2）解：∵长方形绕点A顺时针旋转， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图， 当线段与交于点时，作于， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ， ∴， ， ， ， ； 如图， 当的延长线交于点时， 由上知：， ， ， 综上所述：的面积是或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 题型9 旋转与最值问题 47．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）综合与实践 如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上一动点（含，两个顶点），连接，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．探究的面积与点移动的关系． 特例感知 （1）如图1，当时，求的面积． 规律探究 （2）如图2，若设，的面积为，求与之间的函数解析式，并求出的最小值． 数学思考 （3）如图3，连接，当的长最小时，求的面积． 【答案】（1） （2），当时，由最小值，最小值为 （3）的面积为 【分析】（1）根据矩形、折叠的性质，结合题意得到是等腰直角三角形，，如图所示，过点作于点，则是等腰直角三角形，四边形是矩形，结合面积的计算即可求解； （2）设，则，根据旋转得到，过点作于点，是等腰直角三角形，，结合面积的计算即可求解； （3）如图所示，将线段绕点顺时针旋转得，连接，交于点，，，，当时，的值最小，是等腰直角三角形，四边形是矩形，则，由（2）可得，，，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转到，， ∴， ∴， 又， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则是等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）设，则， 当点与点重合时，，当点与点重合时，， 在中，， ∵， ∴恒有意义， ∴根据旋转得到， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为； （3）如图所示，将线段绕点顺时针旋转得，连接，交于点， ∴ ∴，即， 又， ∴， ∴，， 当时，的值最小， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得，，， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，旋转的性质，函数表达式的计算，二次函数最值的计算，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 48．（24-25九年级上·全国·期末）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边，的中点，，． (1)将绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点C逆时针旋转（如图2），求的长． 【答案】(1)最小值是1，最大值是3 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出，的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解； （2）连接，，作交延长线于H，根据旋转的性质求，进而得出，进而可得，勾股定理解，，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，N是中点， ∴平分， ， ∵是等腰直角三角形， ∴是中点， ∴， ∴点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动，连接交圆C于，延长交圆C于， ∴M、N距离的最小值是，M、N距离的最大值是； （2）解：连接，，作交延长线于H， ∵是等腰直角三角形，N是中点， ∴， 同理： ， ∵绕顶点C逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，圆的基本概念等知识，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 49．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，E是正方形边上不与B，C重合的一动点，将绕点E顺时针旋转得到，连接交于G，交于H，连接． 【知识技能】（1）写出和的数量关系，并证明你的结论： 【数学理解】（2）①若．求面积的最大值． ②若，，则正方形的边长为______． 【拓展探索】（3）求证：． 【答案】（1），见解析；（2）①，②；（3）见解析 【分析】（1）如图1，将绕点顺时针旋转得到，得到，，，证明，得到，根据线段的和差关系结合等量代换，即可得出结论． （2）①作交的延长线于点，可证明，得，则，设，则，所以，当时，，所以△面积的最大值是； ②设正方形的边长为，则，而，，所以，，，由勾股定理得，求得符合题意的值为，于是得到问题的答案； （3）作交于点，作交的延长线于点，则，，推导出，所以，则，所以，则，所以四边形是平行四边形，则，再证明，得，所以． 【详解】解：（1）， 由旋转得： 如图1，将绕点顺时针旋转得到， 则，，， ， ， ，， ， ∴L、B、E三点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图1，作交的延长线于点，则， 在和中， ， ∴， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，， ∴面积的最大值是． ②如图1，设正方形的边长为，则， ，， ，，， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 正方形的边长为， 故答案为：． （3）证明：如图2，作交于点，作交的延长线于点，则， 由（2）得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ∴， ， ，且， ． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 50．（24-25八年级下·重庆大足·期末）已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由得，从而得出的值，再根据勾股定理得，然后在中，可得，最后再根据勾股定理即可解答； （2）由菱形中，可得，延长，在上取点，作，可证，可证得， ，从而得出，进而证得，从而得出； （3）由旋转可得，可证，当时取最小值，作交于点，如图，再证可证，最后由三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴ ， ∵ 在中，， ∴ ，则，根据勾股定理得： ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）∵菱形中， ∴ ，， ∵， ∴ ∴ 如图；延长，在上取点，作 ∵ ， ∴ ， ∵ 是菱形的对角线， ∴ 在与中 ∴ ∴， 在与 ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即： ∴   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 作交于点， ∵ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，直角三角形的性质和判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$