第1章特殊平行四边形 自主学习同步达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》 自主学习同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分32分） 1．如图将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点M在边上，若平分，则的长是（　　） A． B．1 C． D． 3．如图，在菱形中，，M、N分别是边的中点，于点P．则的度数为（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 4．如图，菱形中，点是边的中点，垂直的延长线于点，若，，则菱形的边长是（    ） A．3 B． C．4 D．5 5．如图，在矩形中，在上取点，连接，在上取点，连接，将沿翻折，使得点刚好落在边的处，若，，，的长是（    ） A．3 B．5 C． D． 6．把一张矩形纸片按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为，其中，．则的面积是（　　） A． B．6 C． D．4 7．如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分32分） 9．如图，在菱形中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点E，则的度数是 ．    10．如图，在菱形中，对角线，分别为8和6，，垂足为，则的长为 ． 11．如图，四边形为菱形，点E是的中点，点F，H是对角线上两点，且，点G在边上．若四边形是矩形，则菱形的周长为 ． 12．如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，则菱形的面积为 ． 13．如图，矩形中，，点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当点E、F、C三点共线时，的长为 ． 14．如图，矩形的对角线，交于点，过点作，交于点，过点作，垂足为，，，则的值为 ． 15．如图，点在正方形的边上，连接、，延长到点，使，过点作于点，连接若，则的长为 ． 16．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，点，于点，连接，给出下列结论： ①；②四边形的周长为；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；其中正确结论的序号为_________________． 三、解答题（满分56分） 17．如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，求的长． 18．已知：如图，四边形是正方形，、是延长线上的点，且，，求证：．    19．已知，如图四边形是菱形，过的中点作线段，交于点，交的延长线于点．求证：      (1)； (2)若，且，求菱形的周长． 20．如图，将矩形沿对角线翻折，点C落在处，交于点E， (1)过点作交于点F，连接．求证：四边形是菱形； (2)若，，求线段的长． 21．如图，点A是菱形对角线的交点，，连接，交于O．    (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图1和图2，四边形中，已知，点E、F分别在上，．    (1)如图1，若都是直角，把绕点A逆时针旋转至，使与重合，则能证得，请写出推理过程； (2)如图2，若都不是直角，则当与满足数量关系_____时，仍有； (3)拓展：如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，求的长． 参考答案 1．解：设与交于点， ∵将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 2．解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．解：如图所示，延长交的延长线于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵M、N分别是边的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴N为中点． ∴， ∴， ∴ ，即， 故选A． 4．解：过点作于点，如图， 四边形是菱形， ，． ，， ， 四边形为平行四边形， ，． 点是边的中点， ， ． ， 设，则， ，， ∴， ． ． 在中， ， ． 解得：（负数不合题意，舍去）， ． ． 即菱形的边长是4， 故选：C． 5．解：∵将沿翻折，使得点刚好落在边的处，， ∴，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, 故选C． 6．解：设， ∵，， ∴，， 由对折可得：， ∴，即：， 解得：， ∴， ， 故选：C． 7．解：连接，作轴，如下图： 由正方形的性质可得，，， 则， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴点B的纵坐标为， 故选：B 8．解：连接、，如图， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，， ∴， 在中，， ∵H是的中点， ∴ ． 故选A． 9．解：当点在菱形的对角线上时，如图：    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵为菱形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在菱形的对角线的延长线上时，如图：    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵为菱形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或． 10．解：设，交于点， ∵在菱形中，对角线，分别为8和6， ∴，， ∴， ∵， ∴菱形的面积，即：， ∴； 故答案为：． 11．解：如图，连接， 四边形是矩形，， ，，， ， ，， ， 四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的周长为， 故答案为：12． 12．解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵，点为边的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：120． 13．解：由对称得， 在中，， 设， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：1． 14．解：四边形是矩形， ，， ， ， ，，， ， 得， 解得， 故答案为：． 15．解：连接，，， 四边形为正方形， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ． 故答案为：． 16．解：①如图，连接， 正方形的边长为，是对角线上一点， ，，， ，， ， ， ，，即和均为等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 故①正确； ②由①知：，且四边形为矩形， 四边形的周长 故②正确； ③，当时，是等腰三角形， 故③错误； ④四边形是矩形， ， 四边形为正方形， ，， 在和， ， ， ， ， 故④正确； ⑤由③得：， 当最小时，最小， 当时，垂线段最短，即时，的最小值等于， 故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 17．解：设相交于点， ∵垂直平分， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得： ． 18．证明：∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    19.解：（1）∵四边形 是菱形， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴菱形的周长：． 20．（1）解：∵， ∴， ∵将矩形沿对角线翻折， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵将矩形沿对角线翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 解得， ∴， ∴线段的长为． 21．（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）∵四边形是菱形，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴． 22．（1）解：如图，    ∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由是：    如图，把绕A点旋转到，使与重合， 则， ∵， ∴， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：∵中，，， ∴，由勾股定理得：，      如图，把绕A点旋转到，使和重合，连接． 则， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得： ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$