专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 平面的基本性质及推论】 4 【题型2 点（线）共面问题】 6 【题型3 点共线、线共点问题】 10 【题型4 等角定理】 14 【题型5 平面分空间问题】 15 【题型6 异面直线的判定】 18 【题型7 异面直线所成的角】 21 【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 24 【题型9 立体几何中的截面问题】 25 1、空间点、直线、平面之间的位置关系 考点要求 真题统计 考情分析 (1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 (2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题 2023年上海卷：第15题，5分 2025年全国一卷：第17题，15分 空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；常以选择题、填空题的形式考查，难度较易；也会以解答题的一小问考查点、线、面的位置关系，难度中等. 知识点1 平面的基本事实及推论 1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论 (1)四个基本事实及其表示 ①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. ②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. ③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)四个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 基本事实4：①判断两条直线平行. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 2．等角定理 (1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或 ∠AOB+∠A'O'B'=. 知识点2 共面、共线、共点问题的证明方法 1．共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 知识点3 平面分空间问题 1．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 知识点4 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做 异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 【方法技巧与总结】 1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3. 2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【题型1 平面的基本性质及推论】 【例1】（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【解题思路】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 【解答过程】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】利用平面公理及推论即可判断. 【解答过程】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【答案】D 【解题思路】根据平面的基本性质求解. 【解答过程】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误； 一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误； 两条异面直线不能确定平面，C错误. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）下列不是基本事实的是（   ） A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】D 【解题思路】根据基本事实判断即可. 【解答过程】对于A，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故A正确. 对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确； 对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确； 对于D，经过两条平行直线，有且只有一个平面是基本事实1的推论，故D错误； 故选：D. 【题型2 点（线）共面问题】 【例2】（24-25高二下·河南·阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断. 【解答过程】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面． 对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF， 易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面． 故选：D. 【变式2-1】（2025·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】C 【解题思路】由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上, 同理判断, 即可判断各选项的正误. 【解答过程】 因为， 则四点共面. 因为， 则平面， 又平面， 则点在平面与平面的交线上， 同理，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线； 从而 四点共面,都在平面 内， 而点B不在平面内， 所以四点不共面，故选项B正确； 三点均在平面内， 而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点， 所以点M不在平面内， 即:四点不共面， 故选项C错误； ，且， 所以为平行四边形， 所以共面， 所以四点共面， 故选项D正确. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【解题思路】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【解答过程】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 【变式2-3】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据图形及平行公理判断即可. 【解答过程】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D. 【题型3 点共线、线共点问题】 【例3】（2025·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【解题思路】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【解答过程】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【解题思路】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【解答过程】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【变式3-2】（24-25高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【解题思路】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【解答过程】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 【变式3-3】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】B 【解题思路】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【解答过程】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：B. 【题型4 等角定理】 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【解题思路】根据空间等角定理判断即可. 【解答过程】因为，，且， 所以 或 . 故选：C. 【变式4-1】（2025高一下·全国·专题练习）已知角的两边和角的两边分别平行，且，则（　　） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【解题思路】根据等角定理确定角与角的关系，即可得. 【解答过程】由等角定理可知角的两边和角的两边分别平行，则两角相等或互补， 故或，所以或. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二·全国·课后作业）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（    ） A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形 C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似 【答案】C 【解题思路】根据等角定理，即可判断选项. 【解答过程】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解题思路】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断. 【解答过程】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确； 对于③，如图所示， BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个． 故选：B. 【题型5 平面分空间问题】 【例5】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，      所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【解答过程】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C. 【变式5-2】（2025·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值. 【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.    （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；    综上，可以为、、、部分，不能为部分， 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ） A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【解题思路】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【解答过程】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B. 【题型6 异面直线的判定】 【例6】（2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）    A．和 B．和 C．和 D．和． 【答案】D 【解题思路】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断. 【解答过程】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据异面直线的定义一一判断即可. 【解答过程】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正方体展开图得到直观图，即可判断. 【解答过程】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是， 其中，所以与共面、与共面、与共面． 故选：C.    【变式6-3】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答. 【解答过程】在长方体中， ，当是与的交点时，平面，与相交，A不是； 当点与重合时，平面，与相交，B不是； 当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是； 因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是. 故选：D. 【题型7 异面直线所成的角】 【例7】（2025·云南红河·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将四棱锥补成长方体，设，根据条件可求得，可得与所成的角即为或其补角，在中，利用余弦定理求解. 【解答过程】设，如图所示，将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径， 因为，，即，所以． 又，所以与所成的角即为或其补角， 由题意以及长方体结构特征知和均为直角三角形， 所以，， 所以． 可知与所成的角为，所以与所成的角的正弦值为． 故选：B． 【变式7-1】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将正四面体ABCD中置于正方体中，分析易得，可得为直线AN与CM所成角（或补角），进而结合余弦定理求解即可. 【解答过程】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图， 易得，， 所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角， 即为直线AN与CM所成角（或补角）， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，由余弦定理可得，， 因此直线AN与CM所成角的余弦值为. 故选：C. 【变式7-2】（（24-25高一下·广东深圳·期末）在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出辅助线，得到即为和所成角，并由勾股定理求出各边长，利用余弦定理求出夹角余弦值. 【解答过程】连接，，因为，所以即为和所成角， 因为，， 由勾股定理得，， 因此. 故选：D． 【变式7-3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据线线平行可得异面直线与所成角为（或其补角），即可根据余弦定理求解. 【解答过程】连接，取的中点，连接， 由题意知，， 则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C． 【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 【例8】（2025·天津·一模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解题思路】根据空间中线、面关系的判定和性质逐一判断即可. 【解答过程】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：根据线面垂直的定义可知，C正确； 对D：若，，则直线与平面的位置关系不确定，故D错误. 故选：C. 【变式8-1】（2025·云南·模拟预测）设是两条不同的直线，为平面，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【解题思路】对于A，利用直线与平面的位置关系判断；对于B，利用直线与平面的位置关系判断；对于C，利用线面垂直的性质定理判断；对于D，利用直线与直线的位置关系判断. 【解答过程】对于A，若 ，则 或或与相交，故A错误； 对于B，若 ，则 或，故B错误； 对于C，若 ，则，故C正确； 对于D，若 ，则 或与相交或与异面，故D错误. 故选：C. 【变式8-2】（2025·安徽·模拟预测）已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解题思路】由线面的平行及垂直进行判断． 【解答过程】对于A项，若，则或． 对于B，C，D项，显然成立， 故选:A. 【变式8-3】（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解题思路】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【解答过程】A.若，，则或，故A错误； B. 若，，，则，故B正确； C. 若，，则或与相交，故C错误； D. 若，，，则或异面，故D错误. 故选：B. 【题型9 立体几何中的截面问题】 【例9】（2025·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得. 【解答过程】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形， 所求面积. 故选：D. 【变式9-1】（2025·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（    ）    A． B．9 C． D． 【答案】A 【解题思路】作出正方体的截面图形，求出周长即可. 【解答过程】    如图，取AB的中点G，连接GE，，． 因为E为BC的中点，所以，， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形， 其周长为． 故选：A． 【变式9-2】（2025·上海黄浦·二模）如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【解题思路】根据题意，取的中点，的中点，的中点，连接，可得过的截面图形. 【解答过程】解：如图，取的中点， 的中点，的中点，连接， 由正方体的性质可知， 由中位线性质可知， 所以，， 所以，由点确定的平面即为截面，其为六边形． 故选：D． 【变式9-3】（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积. 【解答过程】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离， （1），（2）  ，（3）   （1），（2），（3）， 所以质点从到的最短距离为， 此时质点从点出发，经过上靠近的三等分点，再到达点， 面截正四棱柱所得截面为五边形，如图， 由，， 所以沿质点的最短运动路线截正四棱柱，    则所得截面的面积为： ． 故选：B. 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 【答案】C 【解题思路】根据平面的性质判断即可. 【解答过程】在空间中，三条直线最多可确定个平面， 例如：三棱锥中的三个侧面. 故选：C. 2．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】通过特例说明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面内的直线不平行必相交，推出一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果. 【解答过程】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】指出结论不成立的情况，可判断ABC；根据线面平行的判定定理可判断D. 【解答过程】对于A，若，则两平面可能相交，A不正确； 对于B，若，因为直线不一定相交，根据面面平行的判定定理知两平面平行不一定成立，B不正确； 对于C，若，则与有可能相交，C不正确； 对于D，若，由线面平行的判定定理可知，D正确． 故选：D． 4．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【解答过程】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D. 5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断： ①若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交． ②对平面，和直线，若，，则． ③对平面，和直线，若，，则． ④对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则． 其中正确的判断有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】由线面垂直，线面平行关系可判断选项正误. 【解答过程】对于①，过直线上一点作直线，设过和的平面为，则当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交，故①错误； 对于②，由题可得可能在内，故②错误； 对于③，因，则在内存在，使，则，又，则，故③正确； 对于④，因，，则或，又过平面内一点，则，故④正确. 故选：B. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知圆柱的轴截面为正方形，为下底面圆弧的中点，点在上底面圆弧上且与在轴截面同侧，若，则异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由圆与平行四边形的性可得和，进而得或其补角即为异面直线与所成角，再由已知求得答案． 【解答过程】如图，在弧上取一点，使得，过作圆柱的母线， 连接，则由圆的对称性可得， 由圆柱的性质知，，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成角． 因为为下底面圆弧的中点，，所以，， 所以，所以异面直线与所成角为． 故选；D. 7．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，的中点，连接、、，则五边形为过点的截面，再计算截面周长即可. 【解答过程】如图取的中点，的中点，连接、、， 则五边形为过点的截面，取的中点，靠近的三等分点，连接、、， 则，又且，所以四边形为平行四边形， 所以，则， 又且，所以为平行四边形，所以，则， 所以四点共面； 取、靠近、的三等分点、，连接、、， 同理可证，，，所以， 所以四点共面； 所以五点共面； 又，，， 所以截面周长为. 故选：B. 8．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 【答案】C 【解题思路】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D. 【解答过程】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【答案】AB 【解题思路】根据基本事实以及推论即可逐项判断. 【解答过程】根据基本事实以及推论，易知A，B正确； 对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误； 对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确； 故选：AB. 10．（2025·湖南·模拟预测）已知直线m和平面，且，则下列结论有可能错误的是（    ） A．过m存在一个平面与平行 B．过m存在一个平面与垂直 C．在内存在一条直线n与m平行 D．在内存在一条直线n与m相交 【答案】ACD 【解题思路】利用线面的位置关系，结合各选项中条件，逐一判断即可. 【解答过程】对于A，当与相交时，无法过作一个平面与平行，A错误； 对于B，无论是，还是与相交，都有过存在一个平面与垂直，B正确； 对于C，当与相交时，在内无法作一条直线n与m平行，C错误； 对于D，当时，在内不存在一条直线n与m相交，D错误. 故选：ACD. 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知E，F，G，H分别是正方体的棱的中点，，则（   ） A．直线与直线异面 B．直线交于同一点 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．动点K在侧面内（含边界），且，则动点K的轨迹长度为 【答案】BC 【解题思路】根据题意画出立体图形，再依据平行直线共面、中位线性质、动点轨迹等知识逐一对每个选项进行分析，从而选出正确选项. 【解答过程】A选项，G，H分别是的中点，则，又，则，所以共面，所以A错误； B选项，取中点为M，延长交于点N，连接，如图1，因为且是的中点， 所以，且．同理，延长交于点T，则， 即点N与点T重合，直线交于同一点，所以B正确； C选项，延长交于点Q，连接交于点P，如图2，则同B选项，易证，P为的中点， 所以四边形为过点的截面，， 所以截面周长为，所以C正确；              图1                                    图2 D选项，因为平面，所以，即，所以， 因此K的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，所以轨迹长度为，所以D错误. 故选：BC． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是： （填序号）. ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 【答案】③ 【解题思路】根据空间中线面的位置关系一一判断即可. 【解答过程】若，，则或，故①错误； 若，，则或或与相交，故②错误； 由线面垂直的性质定理可知，③正确； 若，，则或，故④错误． 故答案为：③. 13．（2025·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【答案】 【解题思路】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出. 【解答过程】取的中点，连接，如图所示： 因为为的中点，为的中点， 则根据三角形的中位线定理可得，且. 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为在中，，，， 所以，则. 又，所以． 又在中，，, 所以由余弦定理可得：. 又因为在中，， 所以由余弦定理可得：. 则在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 14．（2025·河北石家庄·模拟预测）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）． 【答案】23 【解题思路】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块，把四面进行极限倾斜相交分析求解. 【解答过程】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块， 把四面进行极限倾斜相交，如图所示， 在倾斜的过程中，在不管底面的情况下，个侧面在顶点以下的“水平范围”内最多可以切割出个空间，与没有倾斜极限的情况一样， 多出来的空间是交叉的切割出来的空间， 在空间上是对称的，四个倾斜的侧面在空间中的延伸还是这样的倾斜侧面， 如图所示的对称的锥面同样会切割出个空间， 即顶点之上的个延伸的倾斜的面同样会切割出个空间， 但是四个空间和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个， 即标记“×”的位置， 所以在的基础上加减，即结果是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且． (1)证明：四点共面； (2)若平面，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解题思路】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论； （2）利用割补法将四棱锥的体积等价为2个三棱锥的体积之和，同时多次利用三棱锥体积之间的关系进行转化求解． 【解答过程】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以， 又因为，所以且， 又由，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，则四点共面． （2）解：如图所示，过点作交于点，则， 可得，， 连接，则 ． 16．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知正四面体，分别是棱的中点．    (1)证明：四边形为菱形； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用中位线即可求证四边形为平行四边形，再求证即可； （2）根据异面直线所成角的定义找出或其补角为所求角，在中利用余弦定理求得即可. 【解答过程】（1）由题知，为的中位线，是的中位线， 所以，且，，且， 故，且，故四边形为平行四边形， 又是的中位线，则， 因为在正四面体中，，所以，故四边形为菱形． （2）因为，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设正四面体的棱长为，则，， 在中，利用余弦定理得，， 故异面直线与所成角的余弦值为．    17．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点. 【解答过程】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 18．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比. 【答案】(1)作图见解析 (2)小几何体与大几何体的比值为 【解题思路】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. （2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. 【解答过程】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面， 且平面平面，平面平面， 平面平面，则为截面与各木块表面的交线. （2）由于点在平面内且为的重心，， 所以，又因为，故， 故几何体为棱柱， 设棱台的高为，的面积为，故， 又，则， 故由台体体积公式得正三棱台体积为， 所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为， 故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. 19．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【解题思路】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； 法二：作出的边和的垂直平分线，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距离相等，得出外心即为，，，所在球的球心，即可证明结论； （ii）法一：写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 法二：求出的长，过点作的平行线，交的延长线为，连接，，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，在中由余弦定理求出，即可求出直线与直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 平面的基本性质及推论】 4 【题型2 点（线）共面问题】 5 【题型3 点共线、线共点问题】 6 【题型4 等角定理】 7 【题型5 平面分空间问题】 8 【题型6 异面直线的判定】 9 【题型7 异面直线所成的角】 10 【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 10 【题型9 立体几何中的截面问题】 11 1、空间点、直线、平面之间的位置关系 考点要求 真题统计 考情分析 (1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 (2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题 2023年上海卷：第15题，5分 2025年全国一卷：第17题，15分 空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；常以选择题、填空题的形式考查，难度较易；也会以解答题的一小问考查点、线、面的位置关系，难度中等. 知识点1 平面的基本事实及推论 1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论 (1)四个基本事实及其表示 ①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. ②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. ③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)四个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 基本事实4：①判断两条直线平行. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 2．等角定理 (1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或 ∠AOB+∠A'O'B'=. 知识点2 共面、共线、共点问题的证明方法 1．共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 知识点3 平面分空间问题 1．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 知识点4 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做 异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 【方法技巧与总结】 1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3. 2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【题型1 平面的基本性质及推论】 【例1】（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【变式1-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【变式1-3】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）下列不是基本事实的是（   ） A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【题型2 点（线）共面问题】 【例2】（24-25高二下·河南·阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（    ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【变式2-2】（24-25高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【变式2-3】（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 点共线、线共点问题】 【例3】（2025·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【变式3-1】（24-25高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【变式3-2】（24-25高三·全国·课后作业）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【变式3-3】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【题型4 等角定理】 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式4-1】（2025高一下·全国·专题练习）已知角的两边和角的两边分别平行，且，则（　　） A． B． C．或 D．不能确定 【变式4-2】（24-25高二·全国·课后作业）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（    ） A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形 C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似 【变式4-3】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补． 其中正确的命题有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型5 平面分空间问题】 【例5】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式5-1】（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（2025·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ） A．25 B．26 C．28 D．30 【题型6 异面直线的判定】 【例6】（2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）    A．和 B．和 C．和 D．和． 【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（     ） A． B． C． D． 【题型7 异面直线所成的角】 【例7】（2025·云南红河·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（（24-25高一下·广东深圳·期末）在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 【例8】（2025·天津·一模）已知m，n是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式8-1】（2025·云南·模拟预测）设是两条不同的直线，为平面，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式8-2】（2025·安徽·模拟预测）已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8-3】（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【题型9 立体几何中的截面问题】 【例9】（2025·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（    ）    A． B．9 C． D． 【变式9-2】（2025·上海黄浦·二模）如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式9-3】（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱中，为线段的中点，一质点从点出发，沿长方体表面运动到达点处，若沿质点的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 2．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断： ①若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交． ②对平面，和直线，若，，则． ③对平面，和直线，若，，则． ④对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则． 其中正确的判断有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025高三·全国·专题练习）已知圆柱的轴截面为正方形，为下底面圆弧的中点，点在上底面圆弧上且与在轴截面同侧，若，则异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 二、多选题 9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 10．（2025·湖南·模拟预测）已知直线m和平面，且，则下列结论有可能错误的是（    ） A．过m存在一个平面与平行 B．过m存在一个平面与垂直 C．在内存在一条直线n与m平行 D．在内存在一条直线n与m相交 11．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知E，F，G，H分别是正方体的棱的中点，，则（   ） A．直线与直线异面 B．直线交于同一点 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．动点K在侧面内（含边界），且，则动点K的轨迹长度为 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是： （填序号）. ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则． 13．（2025·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 14．（2025·河北石家庄·模拟预测）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）． 四、解答题 15．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且． (1)证明：四点共面； (2)若平面，求四棱锥的体积． 16．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知正四面体，分别是棱的中点．    (1)证明：四边形为菱形； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 17．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 18．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比. 19．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$