专题9 勾股定理与折叠问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(冀教版2024)河北专版

第十七章　特殊三角形 专题9　勾股定理与折叠问题 1 【方法指导】利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： （1）找：找出折痕，折痕所在的直线为对称轴； （2）标：标出折叠前后相等的线段或角； （3）设：根据题目要求，设出未知数； （4）列：找出关键的三角形（一般是折叠后新产生的直角三角形，如下图阴 影），利用勾股定理建立方程； （5）求：求出未知数的值. 2 3 4 5 6 1 1. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为 （　　） A. B. C. 4 D. 类型1 直角三角形中的简单折叠 D 2 3 4 5 6 1 3 2. 如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40. 将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上的B'处，AE为折痕，则EB'的长为 （　　） A. 12 B. 25 C. 20 D. 15 D 2 3 4 5 6 1 4 3. 如图，长方形纸片ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为______cm2. 类型2 长方形中的简单折叠 6 2 3 4 5 6 1 5 4.如图，把长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB=3，BC=6，则DE的长为________. 2 3 4 5 6 1 6 5. 如图，在长方形ABCD中，E为BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处. （1）求证：AD=DE； （2）若BE=1，AE=，求CE的长. 类型3 折叠中勾股定理的综合应用 2 3 4 5 6 1 7 （1）证明：∵AD⫽BC，∴∠DAE=∠AEB. 由折叠的性质，得∠AEF=∠AEB，∴∠DAE=∠AEF，∴AD=DE. （2）解：由题意知BC=AD，CD=AB，∠B=∠C=90°. ∵BE=1，AE=，∴CD=AB===3. 设CE=x，则AD=DE=BC=EC+BE=x+1. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD2+CE2=DE2. ∴32+x2=（x+1）2，解得x=4. 即CE=4. 2 3 4 5 6 1 6. 如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，∠ABC>90°，点D在AC边上，将△ABD沿着BD折叠得△EBD，连接AE，CE. （1）用尺规作出△EBD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若∠ABD=30°，CE=3，求∠BEC的度数. 解：（1）如图，△EBD即为所求. 2 3 4 5 6 1 9 （2）由折叠可得，∠ABE=2∠ABD=2×30°=60°，AB=EB， ∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，AE=AB. 又∵CE=3，AB=4，AC=5， ∴CE2+AE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，且∠AEC=90°， ∴∠BEC=∠AEC-∠AEB=90°-60°=30°. 2 3 4 5 6 1 11 $$