2.2.1双曲线及其标准方程（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的定义及标准方程，通过椭圆定义类比导入，结合拉链模型实验引导学生观察轨迹形成过程，搭建从旧知到新知的学习支架，清晰呈现知识脉络。 其亮点在于融入数学核心素养，用模型实验和爆炸声定位等实例让学生用数学眼光观察现实，通过定义中2a与2c关系的严谨推导培养数学思维，典例与题型训练助力用数学语言表达。帮助学生理解抽象概念，教师可高效备课提升教学效果。

1 双曲线 2.1 双曲线及其标准方程 第二章 圆锥曲线 北师大版2019·选择性必修第一册 学 习 目 标 2 3 结合实例，经历从具体情境中抽象出双曲线的定义的过程，掌握双曲线的定义. 理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 能够根据已知条件求双曲线的标准方程. 1 读教材 阅读课本P59-P60，6分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“双曲线及其标准方程”吧！ 1.双曲线的定义是什么？ 2.双曲线和椭圆有什么不同点？ 3.双曲线的标准方程是什么？ 新课引入 如果平面内到两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数,这样的点的轨迹是什么图形呢? 平面内到两个定点F1,F2,的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹）叫作椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的定义 新知探究 模型试验：取一条拉链,如图,把它固定在板上的F1、F2两点,拉动拉链（M）, 拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？ |MF1|-|MF2|=2a 新知探究 模型试验：取一条拉链,如图,把它固定在板上的F1、F2两点,拉动拉链（M）, 拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？ |MF1|-|MF2|=2a |MF2|-|MF1|=2a | |MF1|-|MF2| | = 2a 上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支. 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的定义 3 题型训练 2 双曲线的标准方程 新知探究 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于︱F1F2︱）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线. 知识点一、双曲线的定义 一般用2a表示 一般用2c表示 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数并且要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？ 新知探究 知识点一、双曲线的定义 思考1：定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 思考2：定义中为什么要求常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？ 没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支. ⑶若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| >|F1F2|， 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线. ⑵若2a=2c, 即||MF1|-|MF2|| =|F1F2|， 此时轨迹不存在. ⑴若2a=0, 即|MF1|=|MF2|, 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 9 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的定义 3 题型训练 2 双曲线的标准方程 新知探究 建系 设点 下面我们仿照求椭圆标准方程的方法,根据双曲线的定义建立方程. 列式 化简 椭圆的标准方程 仿照 双曲线的标准方程 新知探究 如图,以直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系. 建系 设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距2c(c>0),M到的距离之差的绝对值为2a(0<a<c),则的坐标分别是(-c,0)、(c,0). 设点 下面我们仿照求椭圆标准方程的方法,根据双曲线的定义建立方程. 设P(x,y)是椭圆上任意点,根据椭圆的定义可知点P满足： ||MF1|-|MF2||=2a 因为|PF1|= , |PF2|= 列式 新知探究 化简 下面我们仿照求椭圆标准方程的方法,根据双曲线的定义建立方程. 新知探究 1.对方程①化简整理得： 2.令c2-a2=b2,其中b>0,代入②得：b2x2-a2y2=a2b2 ② ① 化简 ③ 3.对方程③两边两边同时除以得： ④ 新知探究 知识点二、双曲线的标准方程 我们将方程 叫作双曲线的标准方程,它的焦点在x轴上,两个焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2+b2. 如果焦点在y轴上, 其焦点分别为F1(0,-c),F2(0,c),用同样的方法可以推出标准方程为 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间 的关系 、 、 新知探究 知识点二、双曲线的标准方程 典例分析 例1：已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程. 解： 由2c=10,2a=6,得c=5,a=3. 因为双曲线的交点在x轴上,所以设它的标准方程为 因此b2=c2-a2=52-32=16, 所以双曲线的标准方程为 求解双曲线标准方程的方法： 提分笔记 ⑴定义法：利用双曲线的定义确定的值,结合焦点位置写出双曲线的方程. ⑵待定系数法：首先建立方程,然后依据题设条件,计算出待定的系数代入方程即可． 典例分析 例2：在相距2000m的两个观察站A,B先后听到远处传来的爆炸声,已知A站听到的时间比B站早4s,声速是340m/s.建立适当的平面直角坐标系,判断爆炸点可能分布在什么样的轨迹上,并求该轨迹的方程． 解： 设爆炸点为， 由题意可得：, 所以爆炸点在以为焦点的双曲线上（左半支）. 如图,以的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则， 典例分析 例2：在相距2000m的两个观察站A,B先后听到远处传来的爆炸声,已知A站听到的时间比B站早4s,声速是340m/s.建立适当的平面直角坐标系,判断爆炸点可能分布在什么样的轨迹上,并求该轨迹的方程． 解： 设双曲线的焦距为, 实轴长为,虚轴长为, 可得，则， 所以爆炸点的轨迹方程为. 提分笔记 求轨迹为双曲线的轨迹方程的步骤 (3)写出双曲线的标准方程（注意根据实际意义写出x或y的范围） (2)根据题意,结合双曲线的定义确定求出a、b、c的值. (1)通过数学抽象,找出实际问题中涉及的双曲线,将原问题转化为数学问题 学习过程 01 03 02 目录 1 双曲线的定义 3 题型训练 2 双曲线的标准方程 题型探究 例1： 求双曲线的标准方程 题型1 求适合下列条件的双曲线的标准方程： ⑴两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． （1）由已知得5，． 又因为双曲线的焦点在x轴上， 因此，且． 所以所求的双曲线的标准方程是． 解： 题型探究 例1： 解： 求双曲线的标准方程 题型1 求适合下列条件的双曲线的标准方程： ⑴两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． （2）由已知得双曲线的焦点在y轴上，且，所以另一个焦点坐标为. 因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为： ， 因此，从而． 因此，所求双曲线的标准方程是． 题型探究 例1： 由双曲线方程求参数 题型2 已知方程 表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 因为方程表示双曲线， 解： 所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. B 题型探究 例2： 由双曲线方程求参数 题型2 解： 曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 曲线C是双曲线，则， 解得， 故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B   B 课堂小结 一、双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于︱F1F2︱）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注：这个常数一般用焦距一般. 25 二、双曲线的标准方程 课堂小结 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间 的关系 、 、 感谢聆听! $$