2.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以双曲线定义与标准方程为核心，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到跨知识综合的梯度进阶，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线定义、标准方程、焦点坐标等核心概念|单选/填空为主，直接考查公式应用，如第1题定义辨析、第3题标准方程求解| |情境应用|方程与曲线类型判断、实际问题建模|多选/选条件解答，强化分类讨论与建模，如第6题爆炸点轨迹分析、第10题条件选择求方程| |综合拓展|与圆/椭圆综合、新定义问题、光线反射等跨知识应用|探究性解答题，培养创新意识与逻辑推理，如第13题动圆圆心轨迹、第16题光线反射路径长计算|

2.1　双曲线及其标准方程 1.设动点P到A（－5，0）的距离与它到B（5，0）距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（　　） A.－＝1　　 　 B.－＝1 C.－＝1（x≤－3） D.－＝1（x≥3） 2.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（　　） A. B. C. D.（，0） 3.在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 4.已知两定点F1（－3，0），F2（3，0），在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是（　　） A.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝5 B.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6 C.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝7 D.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝0 5.（多选）已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是（　　） A.当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B.当t＞4或t＜1时， 曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 6.（多选）已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的是（　　） A.爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上 B.爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上 C.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为米 D.若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米 7.若曲线C：mx2＋（2－m）y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为　　　　. 8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点.若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为　　　　　　. 9.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3｜PF1｜＝4｜PF2｜，则△PF1F2的面积等于　　　　. 10.在①m＞0，且C的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋2；②C的焦距为4；③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知双曲线C：－＝1，　　　　　，求C的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 11.设P是双曲线－＝1上一点，M，N分别是两圆（x－5）2＋y2＝4和（x＋5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为（　　） A.6 B.9 C.12 D.14 12.若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1，F2的距离之比为2∶1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.x2－＝1 D.x2－y2＝1 13.（多选）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x＋2）2＋y2＝和C2：（x－2）2＋y2＝，其中常数r1，r2为正数，且r1＋r2＜4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆P的圆心的轨迹可以是（　　） A.两个椭圆 B.两个双曲线 C.一个双曲线和一条直线 D.一个椭圆和一个双曲线 14.与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程是　　　　. 15.已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，试判断△MF1F2的形状. 16.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C'：－＝1（m＞0，n＞0）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，求光线经过2k（k∈N＋）次反射后回到左焦点所经过的路径长. 2.1　双曲线及其标准方程 1.D　由题意知，P点的轨迹应为以A（－5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1（x≥3）. 2.B　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，故右焦点的坐标为. 3.D　应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求. 4.A　对于选项A，因为｜F1F2｜＝6，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝5＜｜F1F2｜，故动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6＝｜F1F2｜，所以动点P的轨迹是以F1为端点向左延伸和以F2为端点向右延伸的两条射线；对于选项C，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝7＞｜F1F2｜，所以动点P的轨迹不存在；对于选项D，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝0，所以｜PF1｜＝｜PF2｜，根据线段垂直平分线的性质可知，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 5.BCD　A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则（4－t）（t－1）＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t＞4. 6.BD　依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设爆炸点为C，则｜CA｜－｜CB｜＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以＝4，即｜CA｜＝2｜CB｜，结合｜CA｜－｜CB｜＝680，可得｜CB｜＝680.所以C选项错误，D选项正确.故选B、D. 7.（2，＋∞）　解析：由曲线C：mx2＋（2－m）y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2. 8.x2－＝1　解析：设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）.由题意得B（2，0），C（2，3），∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1. 9.24　解析：由题意知a＝1，焦距｜F1F2｜＝2×＝10.所以｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PF2｜－｜PF2｜＝｜PF2｜＝2，所以｜PF2｜＝6，｜PF1｜＝8，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以PF1⊥PF2，所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×8×6＝24. 10.解：选①：因为m＞0，所以a2＝3m，b2＝m，c2＝a2＋b2＝4m， 则a＝，c＝2， 因为C的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3＋2， 所以＋2＝（＋2）＝3＋2，解得m＝3，C的方程为－＝1. 选②：若m＞0，则a2＝3m，b2＝m，c2＝a2＋b2＝4m，c＝2， 因为C的焦距为4，所以2c＝4＝4，m＝3，C的方程为－＝1； 若m＜0，则a2＝－m，b2＝－3m，c2＝a2＋b2＝－4m，c＝2， 因为C的焦距为4，所以2c＝4＝4，m＝－3，C的方程为－＝1， 综上所述，C的方程为－＝1或－＝1. 选③：若m＞0，则a2＝3m，a＝， 因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6， 所以2a＝2＝6，m＝3，C的方程为－＝1； 若m＜0，则a2＝－m，a＝， 因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6， 所以2a＝2＝6，m＝－9，C的方程为－＝1， 综上所述，C的方程为－＝1或－＝1. 11.B　如图所示，设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1（－5，0）为圆（x＋5）2＋y2＝1的圆心，点F2（5，0）为圆（x－5）2＋y2＝4的圆心，当｜PM｜－｜PN｜取最大值时，点P在该双曲线的左支上，由双曲线的定义可得｜PF2｜－｜PF1｜＝6.由圆的几何性质得｜PM｜≤｜PF2｜＋2，｜PN｜≥｜PF1｜－1，所以｜PM｜－｜PN｜≤｜PF2｜－｜PF1｜＋3＝6＋3＝9.故选B. 12.D　假设｜PF1｜＝2｜PF2｜，若曲线是椭圆，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜PF2｜＋｜PF2｜＝3｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝，｜PF2｜＝；若曲线是双曲线，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2｜PF2｜－｜PF2｜＝｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a.可以验证，对于选项A、B、C，满足上述数量关系的｜PF1｜，｜PF2｜，｜F1F2｜不能构成△PF1F2，只有选项D，由于a＝1，c＝，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2，可以构成三角形，即存在“Ω点”的曲线是x2－y2＝1. 13.BC　由题意得，圆C1的圆心为C1（－2，0），半径为r1，圆C2的圆心为C2（2，0），半径为r2，所以｜C1C2｜＝4.设动圆P的半径为r.因为r1＋r2＜4，所以两圆相离，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切.①若均内切，则｜PC1｜＝r－r1，｜PC2｜＝r－r2，此时｜｜PC1｜－｜PC2｜｜＝｜r1－r2｜，当r1≠r2时，点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当r1＝r2时，点P在线段C1C2的垂直平分线上.②若均外切，则｜PC1｜＝r＋r1，｜PC2｜＝r＋r2，此时｜｜PC1｜－｜PC2｜｜＝｜r1－r2｜，则点P的轨迹与①相同.③若一个外切，一个内切，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，｜PC1｜＝r－r1，｜PC2｜＝r＋r2，｜PC2｜－｜PC1｜＝r1＋r2.同理，当与圆C2内切，与圆C1外切时，｜PC1｜－｜PC2｜＝r1＋r2.此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.故选B、C. 14.－＝1　解析：法一　∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20，①.∵双曲线经过点（3，2），∴－＝1，②.由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为－＝1. 法二　设所求双曲线的方程为－＝1（－4＜λ＜16）.∵双曲线过点（3，2），∴－＝1，解得λ＝4.故双曲线的标准方程为－＝1. 15.解：（1）椭圆的方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝.故可设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）.依题意得解得 故双曲线的标准方程为－＝1. （2）不妨设M在双曲线的右支上， 则有｜MF1｜－｜MF2｜＝2. 又｜MF1｜＋｜MF2｜＝6， 解得｜MF1｜＝4，｜MF2｜＝2. 又｜F1F2｜＝2c＝2， 因此在△MF1F2中，MF1边最长， 由余弦定理可得cos∠MF2F1 ＝ ＝ ＝－＜0. 所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形. 16.解：光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图，｜BF2｜＝2m＋｜BF1｜，｜BF1｜＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜BF2｜－2m＋｜BA｜＋｜AF1｜＝｜AF2｜＋｜AF1｜－2m＝2a－2m，所以光线经过2k（k∈N＋）次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k（a－m）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $