专题23.4 图形与坐标（高效培优讲义）数学华东师大版九年级上册

专题23.4 图形与坐标 1.平面直角坐标系的基本概念;（重点） 2.坐标的几何意义；（重点） 3.坐标与几何位置的双向转化；（难点） 4.复杂图形变换的坐标计算；（难点） 5.实际问题中坐标系的建立。（难点） 知识点1 用坐标表示地理位置 平面直角坐标系表示地理位置的方法(1)选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、v轴的正方向建立平面直角坐标系 (2)根据具体问题确定单位长度 (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和对应地点的名称 建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，要本着方便、简单、美观的原则 知识点2 用方位角及距离表示平面内点的位置 1.定义 确定平面内一个点的位置，可以选择一个参照点，然后用方位角和距离来表示点的位置，这种表示物体位置的方法称为方位角距离定位法 1.用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可， (1)该点相对于参照点的方位角；(2)该点与参照点之间的实际距离 2.用方位角和距离表示平面内点的位置和地图上的方向一样，按上北下南、左西右东划分，处于四个直角平分线上的方向分别是东南、东北、西北、西南 2.方法 (1)选取某个点为参照点，过参照点画出表示东西和南 北方向的直线: (2)用量角器量出点M相对于参照点的方位角； (3)用刻度尺量出点M与参照点之间的图上距离，并利用比例尺计算出点M与参照点之间的实际距离；(4)用方位角和距离表示点M的位置 知识点3 平移变换与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形的平移一般都沿着轴方向或轴方向进行，平移前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下 (1)若沿轴向右(或向左)平移，则对应顶点的纵坐标不变而横坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位; (2)若沿轴向上(或向下)平移，则对应顶点的横坐标不变而纵坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位 将图形左右平移，点的纵坐标不变;上下平移，点的横坐标不变。即右加左减纵不变;上加下减横不变 知识点4 轴对称变换与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形一般以轴或轴为对称轴进行轴对称变换，变换前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下: (1)关于轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数; (2)关于轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等 关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律:横对称横不变，纵相反;纵对称，纵不变，横相反;关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值相同 知识点5 平面直角坐标系中的位似 1.位似变换中对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.即若原图形的某一顶点坐标为()，则其位似图形对应顶点的坐标为()或()注意:这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比 2.位似变换与平移、轴对称两种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称变换是全等变换，而位似变换是相似变换 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换分两种情况:一种是位似图形与原图形在原点的同侧;另一种是在原点的两侧当时，图形扩大为原来的倍;当时，图形缩小为原来的 题型一、实际问题中用坐标表示位置 例1（24-25九年级上·山西临汾·期末）洪洞大槐树寻根祭祖园旅游景区是以“大槐树移民见证地与寻根祭祖圣地”人文景区为主、自然生态与建筑景观为辅的大型综合性科普人文旅游景区．如图是景区中的三个景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若广济寺和祭祖堂的坐标分别为，则魁星楼的坐标为（   ） A． B． C． D． 1-1（24-25九年级上·贵州遵义·期末）小珍同学参加“感恩祖国”手抄报比赛时，将“遵、道、行、义”四个字设计在如图所示的方格纸中．若建立平面直角坐标系，使“道”“行”的坐标分别为，则“遵”对应的坐标为（      ） A． B． C． D． 1-2（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 1-3（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，这是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”的A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为 ． 1-4（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为 ． 题型二、用方向角和距离确定物体的位置 例2（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）小明从学校出发，步行去少年宫（如图），行走路线正确的是（    ） A．向南偏东行走600米 B．向南偏西行走600米 C．向南偏东行走600米 D．向南偏西行走600米 2-1（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，货船与港口相距20海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，20海里）来描述，则港口相对货船的位置用有序数对描述为 ． 2-2（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，如果一个小正方形的对角线长，乐乐家原来的位置是． (1)乐乐爸爸在医院工作，医院在乐乐家北偏东方向处是点A（   ，   ）展览馆在乐乐家东偏南方向走处是点B（   ，   ），并在图中标出点A、点B的位置． (2)如本市出租车收费标准为：以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元．乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费多少钱？ 题型三、根据方位描述确定物体的位置 例3（23-24九年级上·河北廊坊·期中）李雯同学约小明去电影院看电影，下面是他们在微信中的对话 从上面的对话中，小明能从生活超市走到电影院的路线是（  ） A．先向东走500米，再向南走100米 B．先向东走100米，再向南走500米 C．先向东走200米，再向南走300米 D．先向东走300米，再向南走200米 3-1（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是东西流向且两岸，互相平行的一段河道，在河岸有一棵小树，在河岸的琪琪观测到小树在他的北偏西方向上，则琪琪的位置可能是（    ） A． B． C． D． 3-2（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 题型四、利用相似求坐标 例4（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 4-1（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 4-2（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    4-3（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ． 4-4（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 题型五、求位似图形的对应坐标 例5（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第一象限内作的位似图形，位似比为，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 5-1（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若与关于点位似，且的面积是面积的4倍，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 5-2（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（） A． B． C． D． 5-3（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 5-4（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把的各边缩小到原来的，则点A的对应点的坐标为 ． 题型六、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 例6（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 6-1（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为12，则面积为（   ） A．54 B．32 C．27 D． 6-2（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 6-3（24-25九年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则 ． 6-4（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是个单位长度． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的倍后的位似图形； (2)若的周长为，则的周长是 （用含的代数式表示）． 题型七、在坐标系中画位似图形 例7（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的，并写出点的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标， 7-1（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 7-2（24-25九年级上·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：，，都在格点上． (1)以原点O为位似中心，以相似比为，在格点图内画出； (2)直接写出点、、的坐标． 7-3（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系内的顶点坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为；（点B，C的对应点分别为，） (2)写出点B的对应点的坐标（_______，_______）； (3)与的面积比为______． 7-4（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别是），使与的相似比为． 题型八、在坐标系中画位似中心 例8（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 8-1（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为,C,D两点的坐标分别为．若线段和线段是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ．    8-2（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长． 题型九、坐标与图形综合 例9（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且与的相似比为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9-1（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，点、、、均在轴上，若点的坐标为，则的长度为（   ） A． B．2 C． D．3 9-2（24-25九年级上·河南洛阳·期中）将等腰直角和矩形按如图所示的方式组合放置，，，，现将组合图形绕点O逆时针旋转．则点E旋转后的坐标为（   ） A． B． C． D． 9-3（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正三角形，点，将三角形沿轴的正方向翻转次，点以此落在点，，，……的位置，则点的坐标为 ． 9-4（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知，．将线段绕点A顺时针旋转得到，则点B的坐标是 ． 易错点1 坐标与几何位置的双向转化易错 例1平面直角坐标系下，点到轴的距离为，到轴的距离为，且在第二象限，则点的坐标是(         ) A．(3， 5) B．(5， 3) C．(-3， 5) D．(-5， 3) 【答案】D 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】∵A点到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，且在第二象限， ∴点A的纵坐标为3，横坐标为−5， ∴点A（−5，3）． 故选D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 易错点2 复杂图形变换的坐标计算易错 例2已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． (1)画出向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的，点的坐标是 ； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是 ； (3)的面积是 平方单位． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． （1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）根据勾股定理及其逆定理得出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得出的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标是 故答案为：． （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标是 故答案为：． （3）∵，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴的面积是：（平方单位）． 故答案为：． 1．“小敏在小丽的北偏东方向处”，下面图中与这句话相符的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（　　） A．32 B．18 C．6 D．4 6．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为 ． 8．观察中国象棋的棋盘，其中黑方“炮”的位置可以用平面坐标来表示，红方“马”的位置可以用平面坐标来表示，红“马”走完几步后到达点 B，则表示点 B位置的平面坐标是 ． 9．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似，与的相似比为，点A、B、C对应点分别为点，，． 13．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 14．如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.4 图形与坐标 1.平面直角坐标系的基本概念;（重点） 2.坐标的几何意义；（重点） 3.坐标与几何位置的双向转化；（难点） 4.复杂图形变换的坐标计算；（难点） 5.实际问题中坐标系的建立。（难点） 知识点1 用坐标表示地理位置 平面直角坐标系表示地理位置的方法(1)选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、v轴的正方向建立平面直角坐标系 (2)根据具体问题确定单位长度 (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和对应地点的名称 建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，要本着方便、简单、美观的原则 知识点2 用方位角及距离表示平面内点的位置 1.定义 确定平面内一个点的位置，可以选择一个参照点，然后用方位角和距离来表示点的位置，这种表示物体位置的方法称为方位角距离定位法 1.用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可， (1)该点相对于参照点的方位角；(2)该点与参照点之间的实际距离 2.用方位角和距离表示平面内点的位置和地图上的方向一样，按上北下南、左西右东划分，处于四个直角平分线上的方向分别是东南、东北、西北、西南 2.方法 (1)选取某个点为参照点，过参照点画出表示东西和南 北方向的直线: (2)用量角器量出点M相对于参照点的方位角； (3)用刻度尺量出点M与参照点之间的图上距离，并利用比例尺计算出点M与参照点之间的实际距离；(4)用方位角和距离表示点M的位置 知识点3 平移变换与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形的平移一般都沿着轴方向或轴方向进行，平移前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下 (1)若沿轴向右(或向左)平移，则对应顶点的纵坐标不变而横坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位; (2)若沿轴向上(或向下)平移，则对应顶点的横坐标不变而纵坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位 将图形左右平移，点的纵坐标不变;上下平移，点的横坐标不变。即右加左减纵不变;上加下减横不变 知识点4 轴对称变换与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形一般以轴或轴为对称轴进行轴对称变换，变换前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下: (1)关于轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数; (2)关于轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等 关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律:横对称横不变，纵相反;纵对称，纵不变，横相反;关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值相同 知识点5 平面直角坐标系中的位似 1.位似变换中对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或.即若原图形的某一顶点坐标为()，则其位似图形对应顶点的坐标为()或()注意:这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比 2.位似变换与平移、轴对称两种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称变换是全等变换，而位似变换是相似变换 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换分两种情况:一种是位似图形与原图形在原点的同侧;另一种是在原点的两侧当时，图形扩大为原来的倍;当时，图形缩小为原来的 题型一、实际问题中用坐标表示位置 例1（24-25九年级上·山西临汾·期末）洪洞大槐树寻根祭祖园旅游景区是以“大槐树移民见证地与寻根祭祖圣地”人文景区为主、自然生态与建筑景观为辅的大型综合性科普人文旅游景区．如图是景区中的三个景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若广济寺和祭祖堂的坐标分别为，则魁星楼的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用坐标表示位置，根据广济寺和祭祖堂的坐标分别为建立坐标系，进而即可解答． 【详解】解：∵广济寺和祭祖堂的坐标分别为， ∴建立坐标系为 ∴魁星楼的坐标为． 故选：A 1-1（24-25九年级上·贵州遵义·期末）小珍同学参加“感恩祖国”手抄报比赛时，将“遵、道、行、义”四个字设计在如图所示的方格纸中．若建立平面直角坐标系，使“道”“行”的坐标分别为，则“遵”对应的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标．根据“道”“行”的坐标分别为，可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“遵”的坐标即可． 【详解】解：由“道”“行”的坐标分别为，可得如下图的坐标系， 则“遵”的坐标为， 故选：A． 1-2（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点B的坐标为． 故答案为： 1-3（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，这是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”的A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标．根据，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故答案为：． 1-4（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“馬”的坐标． 【详解】解：如图所示：可得“炮”是原点， 则“馬”位于点． 故答案为：． 题型二、用方向角和距离确定物体的位置 例2（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）小明从学校出发，步行去少年宫（如图），行走路线正确的是（    ） A．向南偏东行走600米 B．向南偏西行走600米 C．向南偏东行走600米 D．向南偏西行走600米 【答案】B 【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息即可进行解答．理解确定位置需要两个元素是解答本题的关键． 【详解】解：小明从学校出发，步行去少年宫行走路线是：向南偏西行走米． 故选：B． 2-1（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，货船与港口相距20海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，20海里）来描述，则港口相对货船的位置用有序数对描述为 ． 【答案】（北偏东海里） 【分析】本题考查坐标确定位置，以点为中心点，来描述点的方向及距离即可，掌握用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西是解题的关键． 【详解】解：由题意知港口相对货船的位置用有序数对描述为（北偏东海里）． 故答案为：（北偏东海里）． 2-2（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，如果一个小正方形的对角线长，乐乐家原来的位置是． (1)乐乐爸爸在医院工作，医院在乐乐家北偏东方向处是点A（   ，   ）展览馆在乐乐家东偏南方向走处是点B（   ，   ），并在图中标出点A、点B的位置． (2)如本市出租车收费标准为：以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元．乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费多少钱？ 【答案】(1)；，画图见解析 (2)他要付车费元 【分析】本题考查了坐标表示位置，准确理解题意是解题关键； （1）根据题意画出点A、点B的位置，写出它们的坐标即可； （2）根据以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元计算即可． 【详解】（1）解：点A、点B的位置如图所示，点A，点B． （2）解：因为以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元， 所以，乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费为（元）， 答：他要付车费11.6元． 题型三、根据方位描述确定物体的位置 例3（23-24九年级上·河北廊坊·期中）李雯同学约小明去电影院看电影，下面是他们在微信中的对话 从上面的对话中，小明能从生活超市走到电影院的路线是（  ） A．先向东走500米，再向南走100米 B．先向东走100米，再向南走500米 C．先向东走200米，再向南走300米 D．先向东走300米，再向南走200米 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，先根据对话话确定出生活超市与电影院的位置，再根据图形解答即可． 【详解】解：依题意，小明能从生活超市走到电影院的路线是先向东走500米，再向南走100米 故选：A． 3-1（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是东西流向且两岸，互相平行的一段河道，在河岸有一棵小树，在河岸的琪琪观测到小树在他的北偏西方向上，则琪琪的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别画出在，，，处观察小树的角度，判断即可． 【详解】解，如图， ，，，分别是 小树在点，，，处的方位角， 小树在点的北偏西方向上， 故选C． 【点睛】本题主要考查根据方位描述确定物体的位置，明确题意、熟知方位是解题的关键． 3-2（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 【答案】D 【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键． 依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可． 【详解】解：A、向西走150m， 再向南走80m，故本选项不符合题意； B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意； C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意； D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意． 故选：D． 题型四、利用相似求坐标 例4（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，由题由易得，然后可得，进而根据可求出，，最后问题可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B的坐标为，点C的坐标为，点A的对应点M的坐标为，点B的对应点N的坐标为，分别过点A、M作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图： ∴，，，， ∵在x轴的下方作的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选：C． 4-1（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    4-2（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 4-3（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵将放大后得到．点， ∴与的相似比为， ∵， ∴， ∴点的坐标是， ∵与的相似比为， 则与的面积比是， 故答案为：；． 4-4（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型五、求位似图形的对应坐标 例5（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第一象限内作的位似图形，位似比为，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查位似与坐标．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把点的横纵坐标乘以，即可得到答案． 【详解】解：∵的顶点为，，，以点O为位似中心，在第一象限内作的位似图形，位似比为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； 故选：B． 5-1（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若与关于点位似，且的面积是面积的4倍，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换得到是解题的关键．根据与关于点位似，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：与关于点位似， ， ， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为或，即或， 故选：D． 5-2（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点B的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是位似变换，正确求出相似比是解题的关键．根据点与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，点的对应点为， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的对应点的坐标为，即， 故选：C 5-3（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 5-4（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把的各边缩小到原来的，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变化的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且， 点的对应点坐标为或，即或． 故答案为：或． 题型六、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 例6（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键． 直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和位似，位似中心为点O，点、点， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积是16． 故选：D． 6-1（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为12，则面积为（   ） A．54 B．32 C．27 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质， 根据可得，即可得出，再结合可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故选：C. 6-2（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 6-3（24-25九年级上·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质．根据题意可得与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，且相似比为， ∴的面积与的面积的比为， ∴． 故答案为：． 6-4（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是个单位长度． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的倍后的位似图形； (2)若的周长为，则的周长是 （用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，使得，，，顺次连接即可； （）与为位似图形，则，且相似比为，故有的周长与周长的比为，代入即可求解； 本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，使得，，，顺次连接 ∴即为所求； （2）解：∵与为位似图形， ∴，且相似比为， ∴的周长与周长的比为， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 题型七、在坐标系中画位似图形 例7（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的，并写出点的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标， 【答案】(1)见详解， (2)见解析， 【分析】本题考查了平移作图，点的坐标，位似作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质分别找出点再依次连接，得出，再得出点的坐标，即可作答． （2）根据位似的性质分别找出点，再依次连接，得出，再得出点的坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ∴； （2）解：如图所示． 则； 7-1（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 7-2（24-25九年级上·广东·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：，，都在格点上． (1)以原点O为位似中心，以相似比为，在格点图内画出； (2)直接写出点、、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)，， 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或； （1）把、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用（1）中的坐标变换规律求解． 【详解】（1）解：如图，为所作， （2）解：把、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标， 即，，． 7-3（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系内的顶点坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为；（点B，C的对应点分别为，） (2)写出点B的对应点的坐标（_______，_______）； (3)与的面积比为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图-位似变换，相似三角形的性质，正确作图是解题的关键． （1）利用关于原点为位似中心的点的坐标特征，将点B、C的横纵坐标都乘以，得到点坐标，然后描点，顺次连接即可； （2）根据（1）中点对应点即可写出坐标； （3）利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：∵，且与的相似比为 ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 7-4（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别是），使与的相似比为． 【答案】见解析 【分析】本题考查在坐标系中画位似图形，先根据位似图形的点的坐标变化求出各顶点坐标，再依次连接即可解答． 【详解】解：∵， 且与的相似比为， ∴，，， ∴如图，为所求． 题型八、在坐标系中画位似中心 例8（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识．根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】如图所示：位似中心的坐标是． 故选：A． 8-1（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为,C,D两点的坐标分别为．若线段和线段是位似图形,且位似中心在y轴上,则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换,平行线性质,相似三角形判定及性质．根据题意连接交于E,根据坐标与图形性质分别求出,根据平行线性质列出比例式,求出,继而得到本题答案． 【详解】解：连接交于E,则点E为位似中心,   , ∵,, ∴, ∵线段和是位似图形, ∴, ∴, ∴,即, ∴, ∴, ∴位似中心点E的坐标为, 故答案为：． 8-2（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了位似中心的确定方法，位似图形的性质； 连接，的交点即为位似中心O，然后根据位似比可求的长． 【详解】解：如图，点O即为所求； ∵与的位似比是，， ∴． 题型九、坐标与图形综合 例9（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且与的相似比为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握相关知识．先根据坐标与图形求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：的顶点坐标分别为，，， ， ， 与的相似比为， ，即， ， 故选：C． 9-1（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，点、、、均在轴上，若点的坐标为，则的长度为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，位似图形的性质，掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比是解题关键．根据坐标可得，，再根据位似图形的性质，得到，，进而得到，即可求出的长度． 【详解】解：点的坐标为， ，， 正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为， ，， ， ， 故选：B． 9-2（24-25九年级上·河南洛阳·期中）将等腰直角和矩形按如图所示的方式组合放置，，，，现将组合图形绕点O逆时针旋转．则点E旋转后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转，先求出点坐标，连接，作出旋转后的线段，过点作轴，证明，进而求出的坐标即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，四边形为矩形，，， ∴轴，， ∴， 连接，设旋转后点的对应点为，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 9-3（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，正三角形，点，将三角形沿轴的正方向翻转次，点以此落在点，，，……的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，点坐标的规律运算，理解等边三角形的性质，图形翻转规律，找出点不同位置的坐标规律是解题的关键． 分别算出，，，，，，得到每翻转次点的纵坐标位置与初始位置相同，长度为6个单位，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， 翻转第一次：，， 翻转第二次：，， 翻转第三次：，， ∴每翻转次点的纵坐标位置与初始位置相同，长度为6个单位， ∴， 即翻转了次点的纵坐标位置与初始位置相同， ∴点的纵坐标为， 横坐标的长度为， ∵起始位置点对应的是， ∴横坐标为， ∴点， 故答案为： ． 9-4（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知，．将线段绕点A顺时针旋转得到，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质可得，，进而可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 易错点1 坐标与几何位置的双向转化易错 例1平面直角坐标系下，点到轴的距离为，到轴的距离为，且在第二象限，则点的坐标是(         ) A．(3， 5) B．(5， 3) C．(-3， 5) D．(-5， 3) 【答案】D 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】∵A点到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，且在第二象限， ∴点A的纵坐标为3，横坐标为−5， ∴点A（−5，3）． 故选D． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 易错点2 复杂图形变换的坐标计算易错 例2已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． (1)画出向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到的，点的坐标是 ； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是 ； (3)的面积是 平方单位． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． （1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）根据勾股定理及其逆定理得出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得出的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标是 故答案为：． （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标是 故答案为：． （3）∵，，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴的面积是：（平方单位）． 故答案为：． 1．“小敏在小丽的北偏东方向处”，下面图中与这句话相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方位角的定义，熟练掌握方位角的定义是解题的关键；根据题目中的方位描述，选择正确的图形即可求解． 【详解】解：根据题目可得小敏在小丽的北偏东方向处， A、小敏在小丽的北偏东方向处，符合题意； B、小丽在小敏的北偏东方向处，不符合题意； C、小敏在小丽的北偏西方向处，不符合题意； D、小丽在小敏的北偏西方向处，不符合题意； 故选：A． 2．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为：，再根据坐标系中两点关于原点对称的性质，得点B坐标；过点做交延长线于点，根据直角坐标系的性质，得的值，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，设点A坐标为：，且 ∵A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点 ∴点B坐标为： ∵过点A作AC⊥x轴于点C ∴点C坐标为： ∴ 如图，过点做交延长线于点 根据题意得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解． 3．如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得绕P点逆时针旋转90°，首先直线解析式的b值是不变的，再根据旋转后的图形和原图形相似，根据一次函数的解析式，即可得到答案. 【详解】根据题意可得， 设原图形与x轴交于A点，新函数与x轴交于B点， ∴当y=0时，， 解得x=-1， ∴OA=1，OP=， ∵旋转90°， ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴OB=3，则B点坐标为（3,0）， 设，将B（3,0）代入可得 ， ∴. 故选D 【点睛】本题考查求一次函数解析式及三角形相似相关知识，关键是利用旋转后的图形与原图形相似，得到新函数解析式与x轴的交点. 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据位似变换的性质得出，求出，，再根据位似变换的性质得出，得出，从而得出，求出、的长即可． 【详解】解：正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， ， 相似比为， ，， ， 正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， 相似比为， ，即， ，， 点的坐标为 故选：B． 5．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（　　） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意得，则与的相似比为，，可得与的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：， ， 与的相似比为， 与的面积比为， 的面积为2， 的面积为， 故选：． 6．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设， ∵点的坐标为，点的坐标为， 又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∵点在轴负半轴上， ∴点． 故选：A． 7．如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“馬”的坐标． 【详解】解：如图所示：可得“炮”是原点， 则“馬”位于点． 故答案为：． 8．观察中国象棋的棋盘，其中黑方“炮”的位置可以用平面坐标来表示，红方“马”的位置可以用平面坐标来表示，红“马”走完几步后到达点 B，则表示点 B位置的平面坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解平面直角坐标系的定义，根据已知条件确定直角坐标系，再判断坐标即可． 【详解】∵黑方“炮”的位置可以用平面坐标来表示，红方“马”的位置可以用平面坐标来表示， ∴直角坐标系如图所示： ∴表示点 B位置的平面坐标是． 故答案为：． 9．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，点的坐标为，,得，，根据，得，过点A作轴于点D，过点作轴于点E，利用，解答即可． 本题考查了位似性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，, ∴，， ∵， ∴， 过点A作轴于点D，过点作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解：，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似，与的相似比为，点A、B、C对应点分别为点，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质得到点，，，描点，连线画图即可． 【详解】解：根据题意，，，．以原点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似，与的相似比为， 得点，，，画图如下： 则即为所求． 13．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 14．如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标； (2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，； (2)作图见解析，． 【分析】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，解决本题的关键是按要求做出图形． 根据网格结构找出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，并写出的坐标； 利用位似的性质，找出点、、的位置，然后画出图形，并写出的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，分别作出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、， 连接点、、得到， 即为所求． 由图可知，的坐标为； （2）解：如图所示，连接并延长到点，使， 连接并延长到点，使， 连接并延长到点，使， 连接点、、得到， 即为所求， 由图可知，点的坐标为． 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$