专题4 构造全等三角形的常用方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(冀教版2024)河北专版

第十三章　全等三角形 专题4　构造全等三角形的常用方法 1 方法1 添加公共边构造全等三角形 典例1 如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE=AD， CE=CD，∠D=75°，∠ECD=145°，求∠B的度数. 学霸说 公共边是相等线段的一种形式，若已知有两组对应边分别相等，而第三边是公共边，则可连接公共边，构造全等三角形. 本题连接________，进而可△_____ ___≌△________，得到∠________=∠D，再利用三角形外角的性质即可解决问题. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 AC ACD ACE AEC 2 【规范解答】 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 如图，连接AC.在△ACD和△ACE中， ∴△ACD≌△ACE（SSS），∴∠AEC=∠D=75°，∴∠BEC=105°. ∵∠ECD=∠B+∠BEC， ∴∠B=∠ECD-∠BEC=145°-105°=40°. 1. 如图，AB=AD，BC=DC，E，F分别是DC，BC的中点. 求证：AE=AF. 变式训练 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 证明：如图，连接AC.在△ACD和△ACB中，∵ ∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ACE=∠ACF. ∵BC=DC，E，F分别是DC，BC的中点，∴CE=CF. 在△ACE和△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS）. ∴AE=AF. 4 方法2 利用“倍长中线法”构造全等三角形 典例2　如图，△ABC中，点E，D在BC边上，CD=AB， ∠BAD=∠BDA，点E是BD的中点，求证：∠C=∠BAE. 学霸说 涉及三角形中线问题时，常采用将中线延长一倍的方法构造全等三角形，以便于解决问题. 本题延长AE至点F，使EF=AE，连接DF，使△ABE≌△________，推理寻找与∠C及∠BAE相等的角，进而解决问题. FDE 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 【规范解答】 如图，延长AE至F，使EF=AE，连接DF. ∵点E是BD的中点，∴BE=DE. 在△ABE和△FDE中， ∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠B=∠BDF，∠BAE=∠F. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 ∵CD=AB，∴DF=DC. ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠BDA+∠BDF，∠BAD=∠BDA，∠B=∠BDF，∴∠ADC=∠ADF. 在△ADF和△ADC中，∴△ADF≌△ADC（SAS），∴∠C=∠F. 又∵∠BAE=∠F，∴∠C=∠BAE. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 2. 如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，点M为BC的中点，连接AM，DE=2AM. 求证：AD⊥AC. 变式训练 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 证明：如图，延长AM至点N，使MN=AM，连接BN，则AN=2AM=DE. ∵点M为BC的中点，∴BM=CM. 在△AMC和△NMB中，∴△AMC≌△NMB（SAS）， ∴AC=BN=AD，∠C=∠NBM，∴AC⫽BN. 在△EAD和△ABN中，∴△EAD≌△ABN（SSS），∴∠EAD=∠ABN. ∵AC⫽BN，∴∠BAC+∠ABN=180°， ∴∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAE+∠DAC=180°. 又∵AB⊥AE，∴∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，即AD⊥AC. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 方法3 利用“截长补短法”构造全等三角形 典例3　如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点 （不与点A，D重合）. 求证：AB-AC>PB-PC. 学霸说 “截长补短法”适用于线段的和、差等问题，一般截取较长线段或延长较短线段，使其与特定线段相等.本题在AB上截取AN=________或延长AC到点M使AM=________，再利用全等三角形的性质与判定求解. AC 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 AB 【规范解答】 证法1（截长法）：如图1，在AB上截取AN=AC，连接PN. 在△APN和△APC中， ∴△APN≌△APC（SAS），∴PN=PC. 在△BPN中，BN>PB-PN，∴AB-AN>PB-PC，∴AB-AC>PB-PC. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 证法2（补短法）：如图2，延长AC至点M，使AM=AB，连接PM. 在△ABP和△AMP中， ∴△ABP≌△AMP（SAS）， ∴PB=PM. 在△PCM中，CM>PM-PC，∴AM-AC>PB-PC， ∴AB-AC>PB-PC. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 3. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 变式训练 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 证明：如图，在BC上取点F，使BF=BA，连接EF. ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 在△ABE和△FBE中，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5. ∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180°. ∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D. 在△CFE和△CDE中，∴△CFE≌△CDE（AAS），∴CF=CD. ∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 方法4 遇“角平分线+高线”构造全等三角形 典例4　如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC， D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD 平分∠ABC，求证：CE=BD. 学霸说 如果题目中的一条线段既是角平分线又是高线，可在其两侧构造全等三角形. 本题延长CE，BA交于点F，结合已知条件得△BFE≌△________，△ACF≌ △________，得到EF=________，CF=________，从而证明结论. BCE 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 ABD CE BD 【规范解答】 如图，延长CE，BA交于点F. ∵CE⊥BD，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACF. ∴∠F+∠ABD=90°，∠F+∠ACF=90°， 在△ABD与△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF. ∵BD平分∠ABC，∴∠CBE=∠FBE. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 在△BCE和△BFE中， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， ∴CE=EF，即CE=CF，∴CE=BD. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 变式训练 4. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP，垂足为P，连接PC，若△ABC的面积为1 cm2，则△PBC的面积为 （　　） A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2 B 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 19 $$