2.3.2一元二次不等式的应用教学设计-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.3.2 一元二次不等式的应用 教科书 书 名：普通高中教科书 数学 必修第一册 出版社：湖南教育出版社 出版日期：2025年7月 教学目标 1.会用一元二次不等式表示数学问题及实际问题中的不等关系，理解不等式的实际背景. 2.通过数学问题及实际问题的解决，让学生认识一元二次不等式对于刻画不等关系的意义和价值，培养学生严谨的思维习惯，提高学生数学抽象和数学建模能力. 教学内容 教学重点： 1.用一元二次不等式表示数学问题及实际问题中的不等关系. 2.分析识别实际问题中的数量关系. 教学难点： 1.用一元二次不等式表示数学问题及实际问题中的不等关系. 2.理解在实际问题背景下的数量关系的特殊性，体会数学建模思想在解决实际问题中的应用。 教学过程 一、新知导入 教师：同学们，大家好！欢迎来到今天的数学课堂。今天我们一起来学习“一元二次不等式的应用”。生活中我们常常会遇到需要决策的情况，比如商家如何定价才能保证盈利？司机在高速行驶时，安全刹车距离是多少？这些问题虽看似复杂，但其实都可以通过数学建模，用一元二次不等式来解决。 AI教学助手（虚拟声音提示）：大家好！我是今天的AI学习助手。一元二次不等式不仅出现在课本里，更广泛应用于经济、工程、物理等领域。准备好和我一起探索高中数学一元二次不等式的奇妙应用了吗？在我们正式开讲之前，先为大家科普一段小视频来了解一下一元二次不等式的解法吧！ 插入视频(回顾已学一元二次不等式的解法)。 教师：想象一下，你是一名产品经理，要确保公司生产的产品不亏本；或者你是一名卡车司机，需要计算安全车速以避免事故。这些现实问题都离不开我们今天要学习的内容。让我们通过几个典型例题，一起看看如何将实际问题转化为数学问题，并通过解一元二次不等式找到最优解。 二、新知探究 教师：例1.某产品的总成本（万元）与产量（台）之间满足如下关系式：.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量为多少？ 教师：这道题目我们该怎么求解呢？下面我们有请AI教学助手为大家讲解一下吧！ AI教学助手：第一步，我们要明确题目中的研究对象是最低产量，并且是在不亏本的前提下研究最低产量。那么不亏本就意味着销售收入要不小于总成本。根据题意，我们可以发现销售收入=售价×产量=25，总成本y=3000+20。那么销售收入要不小于总成本，即销售收入≥总成本。 通过发现不等关系，我们就可以建立不等式253000+20，即25-（3000+20）0。我们只要把这一不等式进行求解，就可以求出产量的取值范围，从而得出最低产量。 学生：哦，通过AI教学助手的详细讲解，我懂了。下面我们一起来看一下我解这道题目详细过程吧！ 解：根据题意可得：5-（3000+20）0 整理可得：+50-30000 方程+50-3000=0有两个不相等的实数根=150，=-200 画出函数y=+50-3000的图像，如下图所示： 由图象得不等式+50-30000的解集为 在这个实际问题中，由于，所以的最小值为150，即生产者不亏本时的最低产量为150台。 教师：求解的真准确。回顾上题的解题过程我们是按照怎样的步骤进行求解的呢？ 学生：根据题意通过建立不等式 → 解不等式 → 结合实际条件筛选，得到最终答案。 教师：很棒，大家总结的真到位！相信例2也难不倒大家。 例2.已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式： ，其中是比例系数，且>0，M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36km/h的速度行驶时，从刹车到停车需要走20m. 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m处有障碍物时能在离障碍物5m以外处停车，则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1s)? 教师：这道题目该怎么求解呢？请同学们小组合作讨论一下。 教师:好时间到，哪个小组可以来分析一下呢？ 学生：首先我们要明确题目所研究的对象，这道题目最终要求的是最高速度，并且是在发现前方20m处有障碍物时，能在距离障碍物5m以外处停车作为前提条件。那也就是说汽车的停车距离应该在（20-5）m以内，也就是说停车距离20-5。 根据题意，汽车的停车距离包含两部分，第一部分是从踩刹车到停车所滑行的距离L（m），还有第二部分是司机发现障碍物到踩下刹车的时间1秒内汽车所行驶的距离，所以停车距离=（滑行距离L+1s行驶距离）20-5。 根据题意因为卡车装着等于车重的货，所以此时汽车的质量应该是2M，那么汽车的滑行距离就是k2M。1秒内汽车的行驶距离又是多少呢？此时我们要关注题目所给的单位，速度是km/h，那我们要将速度v转化成m/s，也就是m/s。此时停车距离要小于20-5.即k2M20-5。我们只要解出不等式中v的取值范围，就可以得到最高速度应该低于多少？ AI教学助手：分析的真正确！但是我们观察可以发现在这个不等式当中，除了v还有k和M。那么kM等于多少呢？ 学生：先不要着急，听我给你详细道来。观察题目，其实题目当中还给了我们一个条件，他说若某辆卡车不装货物的时候，以36km/h的速度行驶，从刹车到停车需要要走20m，那么汽车不装货物，它的质量就是M，36km/h就是v，刹车到停车的距离20m。所以这个条件就是告诉我们当v=36时，L=20，我们将其代入关系式就可以求出kM的值，再带入我们要解的不等式，就可以求出v的取值范围。下面我们一起来看一下具体解题过程： 解：由关系式，将v=36，L=20代入得：k= . 又卡车司机从发现障碍物到踩刹车需经过1s，这1s内卡车已经行驶的路程为 m/s 1s=m，因此，+k20-5 整理可得:+v-3 方程+v-3=0有两个不相等的实数根=-27,=18. 画出函数s=+v-3的图像，如下图所示： 由图象得不等式+v-3的解集为 在这个实际问题中，由于v，所以最高速度应低于18km/h。 教师：大家的思维真敏捷！在求解该题时，一定要注意单位换算和实际意义，还有反应时间内行驶的距离也不能忽略！ 教师：下面我们再来一起看例3.某化学试剂生产厂以kg/h的速度运输生产某种产品(生产条件要求边生产边运输，且1≤≤10)，每小时可获得利润100(5+1−)元. （1）要使运输生产该产品2h获得的利润不低于3000元，求的取值范围. （2）要使运输生产900 kg该产品获得的利润最大，该工厂应该选取何种运输生产速度？并求最大利润. 教师：这道题目我们该怎么求解呢？我们先来看求x的取值范围，前提条件是利润不低于3000元。根据题意，我们知道：利润=生产时间×单位时间所获得的利润。也就是2×100（5）。题目要求利润要不低于3000元，也就是利润3000，即2×100（5）3000。我们获得了不等式之后，只要求解不等式就可以得出的取值范围。 教师：下面我们来分析第二小问。题目没有告诉我们生产时间，而是告诉我们生产量是900kg，因为生产时间=产量÷生产速度，所以我们可以得到生产时间应该为（900÷），这时再用生产时间×单位时间获得的利润=总利润y，即y=×100（5）。 然后我们要做的事情就是求出利润的最大值以及利润取得最大值时x的取值。下面我们一起来看一下解题过程。 解：（1）依据题意得2×100（5）3000 即 5-14-0 因为1所以5-14-0（-3）（5+1）0 解得3或-，结合1知，故的取值范围为310。 （2） 设利润为y，则依据题意可得y= ×100（5） =90000×（-++5） =90000×[-3+] 因此，当，即运输生产速度为6 kg/h时，该工厂获得的利润最大，最大利润为90000×=457500元。 AI教学助手：同学们，你们听懂了吗？请大家回过头来仔细观察回忆这3道题目都是利用一元二次不等式来解决实际问题的题目。在我们利用一元二次不等式解决实际问题的要牢记其解决问题的一般步骤： 1.理解题意，分析清楚量与量之间的关系; 2.建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题; 3.解这个一元二次不等式得到实际问题的最优解。 三、新知小结 教师:今天我们学习了如何用一元二次不等式解决成本控制、安全车速、利润最大化等实际问题。大家有哪些收获呢？ 学生：我学会了利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤： 1.理解题意，分析清楚量与量之间的关系; 2.建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题; 3.解这个一元二次不等式得到实际问题的最优解。 AI教学助手：总结的真到位！下面再让同学们看一段视频来复习巩固一下吧！建议同学们尝试用今天的方法分析解决生活中的常见问题，比如“如何规划快递路线使成本最低等等”​ 教师：课后作业：练习题第1、2题。 下节课我们将学习更多数学建模的技巧，再见！ 学科网（北京）股份有限公司 $