第7章 教考衔接7 新情境下古典概型的应用(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

一、真题展示 (2024·全国甲卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球，设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为________． 二、真题溯源 [教材P204例6] 班级联欢时，主持人安排了跳双人舞、独唱和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与．把五个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 三、类法探究 从近年的新高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计等知识渗透综合考查，但题目一般不超过中等难度．在近几年的高考创新题型中，推出了一些情境新颖，构思巧妙，且具有明确导向的创新题型，使高考试卷充满活力． 类型一　古典概型与传统文化融合 　(1)据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为(　　) A.　　　　　　　 B． C. D． (2)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　) A.　　 B． C.　　 D． [解析]　(1)用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成1与4,1与8，其和分别为5,9，共2种；第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3,2与7,6与3,6与7，其和分别为5,9,9,13，共4种；故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2＋4＝6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为＝. (2)由6个爻组成的重卦种数为26＝64， 在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20. 根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝. [答案]　(1)A　(2)A [反思感悟]　求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择. 类型二　古典概型与统计的综合 　为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间中点值代表)； (2)若根据成绩对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩不低于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在内的概率． [解析]　(1)由频率分布直方图可得， ×10＝1， 解得a＝0.035. 样本数据的平均数为 ＝50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71. (2)由频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25,0.1， 所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人中，成绩在内的有5人，成绩在的有2人． 从这7人中随机抽取2人进行调查分析，记事件A＝“2人中至少有1人成绩在内”， 事件A1＝“2人中恰有1人成绩在内”， 事件A2＝“2人成绩都在内”， 则A＝A1∪A2. 因为A1与A2互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P＝P＋P. 将成绩在内的5个人分别记为B1，B2，B3，B4，B5，将成绩在内的2个人分别记为C1，C2， 设从这7人中第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组表示样本点． 可知样本空间Ω＝{，，，，，…，}， A1＝{，，，，，…，}， A2＝， 因为样本空间包含的样本点个数为n＝42， 且每个样本点都是等可能的，又因为n＝20，n＝2， 由古典概型公式可得P＝＋＝. [反思感悟]　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$