第6章 教考衔接6 用样本估计总体(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

一、真题展示 (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900,950) [950,1000) [1000,1050) 频数 6 12 18 亩产量 [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200) 频数 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg B．100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间 二、真题溯源 [教材P180A组第2题] 某产品售后服务中心随机选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)： 63　38　25　42　56　48　53　39　28　47 45 52 59 48 51 62 48 50 52 38 (1)分别计算以上数据的平均数、中位数和众数； (2)根据以上结果，你能为该产品的售后服务中心提供什么建议？ 三、类法探究 从近几年高考情况看，用样本估计总体能较好地考查学生的数学应用意识，是高考的热点之一，主要考查频率分布直方图、用样本的数字特征估计总体数字特征，并出现统计与概率相结合的命题趋向，应引起足够重视． 类型一　总体百分位数 　为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10,8，a,8,7,9,6,8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数为(　　) A．8　　　　　　　　 B．9 C．8.5 D．9.5 [解析]　由题意可得＝8，解得a＝8，将这组数据按从小到大的顺序排列为6,7,8,8,8,8,9,10，因为8×75%＝6为整数，所以这组数据的第75百分位数为＝8.5，故选C. [答案]　C [反思感悟] 总体百分位数的估计需要注意的两个问题 (1)①总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键．②由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值． (2)确定要求的p%分位数所在分组[A，B)，由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×. 类型二　总体集中趋势的估计 　(多选)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的是(　　) A．频率分布直方图中第三组的频数为10 B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75 C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75 D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75 [解析]　分数在[60,70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.100，所以第三组的频数为100×0.100＝10，故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35＜0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65＞0.5，所以中位数位于[70,80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误． [答案]　ABC [反思感悟]　求众数、中位数、平均数的方法 1众数：由定义知，一组数据中出现次数最多的数，即为众数，若有两个或几个数据出现的次数最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数. 2中位数：若一组数据为奇数个，按照从小到大或从大到小的顺序排列，位于中间位置的数据就是这组数据的中位数；若一组数据为偶数个，按照从小到大或从大到小的顺序排列，位于中间位置的两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 3平均数：利用=求解. 类型三　总体离散程度的估计 　从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频数分布表. 质量指标 值分组 [75， 85) [85， 95) [95， 105) [105， 115) [115， 125] 频数 6 26 38 22 8 (1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？ [解析]　(1)频率分布直方图如图． (2)质量指标值的样本平均数为 ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为 s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定． [反思感悟]　1标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的情况.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.,2用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征. 学科网（北京）股份有限公司 $$