第4章 2.2 换底公式(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该高中数学课件聚焦“对数的换底公式”，通过课前案问题链引导学生从具体对数运算（如\(\frac{\log_{2}5}{\log_{3}5}\)）自主推导公式，衔接对数运算性质，构建“问题探究—结论形成—应用拓展”的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理素养为核心，通过问题猜测与证明发展数学思维，结合题型分类（化简求值、已知对数表未知、综合应用）及一题多变训练提升数学运算能力。课堂小结知识与技法双落实，助力学生自主构建知识体系，教师可借助结构化内容高效实施教学。

第四章　对数运算与对数函数 §2　对数的运算 2.2　换底公式 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 换底公式 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 1 logab －logab 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第四章　对数运算与对数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.会用换底公式进行对数运算．(重点) 2．能利用对数的运算性质、换底公式进行对数的综合应用．(难点) 1.通过推导换底公式发展逻辑推理核心素养． 2．通过对数的运算提升数学运算等核心素养. 　假设eq \f(log25,log23)＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ [提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x， 又因为x＝eq \f(log25,log23)，所以得出log35＝eq \f(log25,log23)的结论． 　由问题1你能猜测出eq \f(logcb,logca)与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？ [提示]　结论为eq \f(logcb,logca)＝logab. 证明　令eq \f(logcb,logca)＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒eq \f(logcb,logca)＝logab. ◎结论形成 1．对数换底公式 若a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1，则 logab＝________. 2．由换底公式推出的常用结论 (1)logab·logbc·logca＝___. (2)loganbn＝_____________. (3)loganbm＝__________. (4)＝__________. eq \f(logcb,logca) logab 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log23·log32＝1.(　　) (2)log48＝eq \f(2,3)log23.(　　) (3)log925＝log35.(　　) (4)eq \f(log8 9,log4 27)＝eq \f(9,4).(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．计算：(log29)·(log34)＝(　　) A.eq \f(1,4)　　 B．eq \f(1,2)　　 　 C．2　　　 D．4 解析　原式＝eq \f(lg 9,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)＝4.故选D. 答案　D 3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　) A.eq \f(b,a) B．eq \f(a＋b,a) C．ab D．a＋b 解析　∵10a＝2，∴a＝lg 2. ∴log26＝eq \f(lg 2＋lg 3,lg 2)＝eq \f(a＋b,a)， 故选B. 答案　B 4．计算：log2eq \f(1,25)·log3eq \f(1,8)·log5eq \f(1,9)＝_______. 解析　原式＝(－2log25)·(－3log32)·(－2log53)＝－12. 答案　－12 题型一　利用换底公式化简求值 　(教材例3迁移)计算： (1)log1627·log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)． [解析]　(1)log1627·log8132 ＝eq \f(lg 27,lg 16)×eq \f(lg 32,lg 81)＝eq \f(lg 33,lg 24)×eq \f(lg 25,lg 34) ＝eq \f(3lg 3,4lg 2)×eq \f(5lg 2,4lg 3)＝eq \f(15,16). (2)(log32＋log92)(log43＋log83) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23)) ＝eq \f(3,2)log32×eq \f(5,6)log23 ＝eq \f(5,4)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 2)＝eq \f(5,4). (1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底． (2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb； loganbm＝eq \f(m,n)loga b．　 [触类旁通] 1．求下列各式的值． (1)log3 eq \f(1,25)·log7 eq \f(1,81)·log5 eq \f(1,49)； (2)(log2125＋log425＋log85)×(log1258＋log254＋log52)． 解析　(1)原式＝eq \f(lg \f(1,25),lg 3)·eq \f(lg \f(1,81),lg 7)·eq \f(lg \f(1,49),lg 5) ＝eq \f(lg 5－2,lg 3)·eq \f(lg 3－4,lg 7)·eq \f(lg 7－2,lg 5) ＝eq \f(－2lg 5,lg 3)·eq \f(－4lg 3,lg 7)·eq \f(－2lg 7,lg 5) ＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16. (2)原式＝(log253＋log2252＋log235)×(log5323＋log5222＋log52) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))×log25×(1＋1＋1)×log52 ＝eq \f(13,3)×3＝13. 题型二　用已知对数表示其他对数 eq \a\vs4\al(一题多变) 　已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)． [解析]　解法一　因为log189＝a,18b＝5， 所以log185＝b， 于是log3645＝eq \f(log1845,log1836)＝eq \f(log189×5,log18\f(182,9)) ＝eq \f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq \f(a＋b,2－a). 解法二　因为eq \f(lg 9,lg 18)＝log189＝a， 所以lg 9＝alg 18，同理得lg 5＝blg 18， 所以log3645＝eq \f(lg 45,lg 36)＝eq \f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9) ＝eq \f(alg 18＋blg 18,2lg 18－alg 18)＝eq \f(a＋b,2－a). [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，如何求log915(用a，b表示)? 解析　因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝eq \f(log1815,log189)＝eq \f(log183×5,log189) ＝eq \f(log183＋log185,a)＝eq \f(log18\r(9)＋b,a) ＝eq \f(log189\f(1,2)＋b,a)＝eq \f(\f(1,2)log189＋b,a)＝eq \f(\f(1,2)a＋b,a)＝eq \f(a＋2b,2a). 2．(变条件)若将本例条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，结论不变，如何求？ 解析　log3645＝eq \f(log945,log936)＝eq \f(1＋log95,1＋log94)＝eq \f(1＋b,1＋a). 应用换底公式应注意的两个方面 (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．　 [触类旁通] 2．(1)(2025·潍坊高一检测)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log125＝(　　) A.eq \f(1－a,2a＋b)　　　　　　 B．eq \f(1－a,a＋2b) C.eq \f(1＋a,a＋2b) D．eq \f(1＋a,2a＋b) (2)已知log37＝a,2b＝3，试用a，b表示log1456. 解析　(1)log125＝eq \f(lg 5,lg 12)＝eq \f(1－lg 2,lg 3＋2lg 2)＝eq \f(1－a,b＋2a). 故选A. (2)因为2b＝3，所以b＝log23， 即log1456＝eq \f(log356,log314)＝eq \f(log323×7,log32×7) ＝eq \f(3log32＋log37,log32＋log37)＝eq \f(\f(3,b)＋a,\f(1,b)＋a)＝eq \f(3＋ab,1＋ab). 答案　(1)A　(2)略 题型三　对数运算的综合应用 　(教材例4提升)(1)方程log2(9x＋5)＝1＋log2(3x＋4)的解集为______． (2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. ①求p的值； ②证明：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y). [解析]　(1)由log2(9x＋5)＝1＋log2(3x＋4)， 得log2(9x＋5)＝log2[2(3x＋4)]， 即9x＋5＝2(3x＋4)，化为(3x)2－2×3x－3＝0， 解得3x＝3，所以x＝1. (2)①设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝eq \f(p·log3k,log34)， 因为log3k≠0，所以p＝2log34＝4log32. ②证明　eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,log6k)－eq \f(1,log3k) ＝logk6－logk3＝logk2＝eq \f(1,2)logk4＝eq \f(1,2y). 故eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y). [答案]　(1){1}　(2)略 [素养聚焦]　对数运算的应用，需要合理运算，巧妙变形，把数学运算核心素养体现在解题中，提高数学求解能力. 解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数t，用t表示其他变量． 注意：应用对数运算法则解方程一定要注意真数大于零，以免产生增解，如logaf(x)＝logag(x)⇔f(x)＝g(x)，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx>0，,gx>0.))　 [触类旁通] 3．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝0，求abc的值； 解析　设ax＝by＝cz＝t， 则x＝logat，y＝logbt，z＝logct， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(1,logat)＋eq \f(1,logbt)＋eq \f(1,logct) ＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0， ∴abc＝t0＝1，即abc＝1. 知识落实 技法强化 1.换底公式． 2．换底公式的简单运用及综合应用. 1.转化求值． 2．注意换底公式的结构特征及结论的灵活运用. $$