第3章 3 第2课时指数函数的性质和图象的应用(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该高中数学课件聚焦指数函数的性质和图象应用，通过课前自主学习的问题引导（如底数不同指数函数的大小比较规律）与基础自测搭建支架，课堂围绕比较指数幂大小、解指数不等式、性质综合应用（单调性、奇偶性、值域）等题型展开，形成从基础到综合的知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合一题多变（如比较幂的大小转化为同底数、解不等式分底数讨论）和规律总结（比较大小三类方法、解不等式三点注意），落实逻辑推理、数学运算核心素养。实例中通过换元法分析复合函数单调性，帮助学生提升思维能力，教师可直接用于互动教学提升效率。

第三章　指数运算与指数函数 §3　指数函数 第2课时　指数函数的性质和图象的应用 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 y轴 反． 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.能利用指数函数的性质和图象比较大小、解不等式．(重点) 2．掌握指数函数图象和性质的综合应用．(难点) 1.通过指数幂的大小比较提升逻辑推理，数据分析核心素养． 2．通过图象性质的综合应用提升逻辑推理，数学运算等核心素养. 指数函数y＝ax和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x(a＞0且a≠1)的图象与性质 　对于函数y＝ax和y＝bx；当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对一个实数x0，什么时候？什么时候？什么时候? [提示]　由图象可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，； ②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，. 综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，；x0∈(－∞，0)，；x0＝0，. 　观察同一平面直角坐标系中函数①y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；②y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？ [提示]　函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与y＝2x的图象关于y轴对称，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x与y＝3x的图象关于y轴对称． ◎结论形成 底数互为倒数的两个指数函数的图象与性质的联系 指数函数y＝ax和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x(a＞0且a≠1)的图象关于_____对称，且它们在R上的单调性相_____ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1.(　　) (2)对于任意的x∈R，一定有3x＞2x.(　　) (3)y＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是刻画指数增长变化规律的函数模型．(　　) (4)若ax－1>a2则x>3.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，则(　　) A．y1＞y2＞y3　　　　 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 解析　∵y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5， ∴y1＞y3＞y2，故选B. 答案　B 3．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值等于3a，则a＝_______. 解析　当a＞1时，依题意得a2＝3a，解得a＝3. 当0＜a＜1时，依题意得a2＝3a不成立．故a＝3. 答案　3 4．函数y＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2－4)的定义域是_______． 解析　由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2－4≥0，即22－x≥22，即x≤0，故函数定义域是(－∞，0]． 答案　(－∞，0] 题型一　比较指数幂的大小 　(教材例3、例5拓展)(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2.5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c (2)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (3)比较下列各组数的大小． ①0.80.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))－0.4； ②20.3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.4,80.2； ③0.6－2与. [解析]　(1)因为a＝20.3，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2.5＝22.5， 所以c＞a＞1.又因为b＝0.32＜1，所以c＞a＞b. (2)由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C. (3)①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))－0.4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))0.4＝0.80.4， 因为函数y＝0.8x在定义域R内是减函数， 又因为0.5＞0.4，所以0.80.5＜0.80.4， 即0.80.5＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))－0.4. ②∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.4＝20.4,80.2＝20.6， 又y＝2x在定义域R上为增函数， ∴20.6＞20.4＞20.3， 即80.2＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－0.4＞20.3. ③因为0.6－2＞0.60＝1， [答案]　(1)D　(2)C　(3)略 比较幂值大小的三种类型及处理方法 　 [触类旁通] 1．(1)(2025·烟台一中月考)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．a<c<b D．c<a<b (2)已知，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．a<b<c C．b<a<c D．c<b<a 解析　(1)a＝0.771.2,0<a<1， b＝1.20.77>1，c＝π0＝1，则a<c<b. (2)对于指数函数y＝ax，若x<0，则当0<a<1时，有ax>1；当a>1时，有0<ax<1. 又因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x在R上是减函数，且－eq \f(1,3)<－eq \f(1,4)，所以. 综上知，，即c<b<a. 答案　(1)C　(2)D 题型二　简单的指数不等式 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(教材例4迁移)(1)函数y＝ eq \r(32x－1－\f(1,9))的定义域为_______； (2)解不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x＋2＞22x＋3. [解析]　(1)由题意32x－1≥eq \f(1,9)＝3－2， 故原不等式等价于2x－1≥－2，解得x≥－eq \f(1,2)， 因此原函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)). (2)原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x＋2＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2x－3， 所以3x＋2＜－2x－3，化简得5x＜－5， 解得x＜－1. 所以原不等式的解集为(－∞，－1)． [答案]　(1)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))　(2)略 [母题变式] (变条件)将本例(2)改为若(a＞0且a≠1)，求x的取值范围． 解析　当a＞1时，原不等式等价为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1. 当0＜a＜1时，原不等式等价为x2－3x＋2＜0. 解得1＜x＜2. 综上所述，当a＞1时，x的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)；当0＜a＜1时，x的取值范围是(1,2)． [素养聚焦]　通过解指数不等式，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 解指数不等式问题时需注意的三点 (1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)形如ax＞b(b＞0)的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax＞bx的形式利用函数图象求解．　 [触类旁通] 2．关于x的不等式(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x的解集为_______． 解析　∵a2＋a＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)＞1， ∴x＞1－x，即x＞eq \f(1,2). 故原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 题型三　指数函数性质的综合应用 eq \a\vs4\al(一题多变) 　已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝eq \f(5,2)，f(2)＝eq \f(17,4). (1)求a，b的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域． [解析]　(1)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f1＝\f(5,2)，,f2＝\f(17,4)，)) ∴根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f1＝2＋2a＋b＝\f(5,2)，,f2＝22＋22a＋b＝\f(17,4)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0.))故a，b的值分别为－1,0. (2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)设任意x1＜x2，且x1，x2∈[0，＋∞)， 即f(x1)＜f(x2)． 所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，所以f(x)的值域为[2，＋∞)． [母题变式] (变结论)本例的条件不变，若f(x)－2m≥0对任意实数恒成立，则实数m的取值范围为_______． 解析　由本例解答知，f(x)的最小值为2，要使f(x)－2m≥0恒成立，即f(x)≥2m恒成立，只需2m≤2即可．解得m≤1. 答案　(－∞，1] 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．　 [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))x3. (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)证明：f(x)>0. (1)解析　由题意得2x－1≠0，即x≠0， ∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)解析　令g(x)＝eq \f(1,2x－1)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2x＋1,22x－1)， φ(x)＝x3. ∵g(－x)＝eq \f(2－x＋1,22－x－1)＝eq \f(1＋2x,21－2x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数． 又∵φ(x)＝x3为奇函数， ∴f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))·x3为偶函数． (3)证明　当x>0时，2x>1，∴2x－1>0， ∴eq \f(1,2x－1)＋eq \f(1,2)>0. ∵x3>0，∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立． 故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0. [缜密思维提能区] 易错辨析 函数y＝ag(x)的单调性、值域问题 [典例]　函数的单调递减区间是_______，值域是_______． [解析]　令t＝x2－2x＝(x－1)2－1， 则f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))t， 利用一元二次函数的性质可得函数t的递增区间为[1，＋∞)； 所以函数的递减区间是[1，＋∞)； 因为t≥－1， 所以f(x)≤eq \f(3,2)， 所以函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))). [答案]　[1，＋∞)　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) [纠错心得]　复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y＝at，内层t＝f(x)． (2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则原函数单调递增，单调性相反则原函数单调递减． (3)值域复合：先求内层t的值域，再利用单调性求y＝at的值域． 知识落实 技法强化 1.比较幂的大小． 2．探究函数y＝af(x)的单调性、值域． 3．解形如af(x)>ag(x)的不等式. 1.探究y＝af(x)与g＝f(ax)的性质时，要注意换元法的应用． 2．比较幂的大小，多借助于幂函数，指数函数的单调性. $$