第3章 3 第1课时指数函数的概念 指数函数的图象和性质(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第三章　指数运算与指数函数 §3　指数函数 第1课时　指数函数的概念　指数函数的图象和性质 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学1 指数函数的定义 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 唯一 ax 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学2 指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 R (0，＋∞) (0,1) 0 1 1 1 0 1 增 正无穷大 0 减 0 正无穷大 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.理解指数函数的概念，能画出指数函数的图象．(难点) 2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域问题．(重点) 1.通过指数函数的图象和性质的探究，培养直观想象等核心素养． 2．通过求指数函数的定义域、值域，提升数学运算等核心素养. 　细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系？ (2)上述对应关系是函数关系吗？为什么？ [提示]　(1)y＝2x，x∈N＋. (2)是．符合函数的定义． ◎结论形成 当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有_____确定的正数y＝ax与之对应．因此，y＝_____是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． 　分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象及y＝3x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x的图象，并回答下列问题： (1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ [提示]　它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数． (2)图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ [提示]　不论底数a＞1还是0＜a＜1，图象都过定点(0,1)． (3)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) [提示]　定义域为R，值域为{y|y＞0}，过(0,1)点，a＞1时为增函数，0＜a＜1时为减函数，没有最值． ◎结论形成 指数函数的图象和性质 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：___ 值域：__________ 过定点：_____________，即当x＝0时，y＝1 当x＜0时，___＜y＜___； 当x＞0时，y＞___ 当x＜0时，y＞___； 当x＞0时，___＜y＜___ 在R上是___函数． 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于__________； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于___ 在R上是___函数． 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于___； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于__________ 性质 a＞b＞1 0＜a＜b＜1 当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x＞0时，ax＞bx＞1 当x＜0时，ax＞bx＞1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x＞0时，0＜ax＜bx＜1 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x5是指数函数．(　　) (2)y＝2ax(a＞0，且a≠1)是指数函数．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴上方．(　　) (4)y＝ax(a>0且a≠1)是单调函数．(　　) 解析　(1)y＝x5不是指数函数，指数函数的底数是常数． (2)指数函数的系数为1. (3)正确． (4)正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 解析　y＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B. 答案　B 3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则函数的解析式为_______． 解析　设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 因为图象经过点(2,4)， 所以f(2)＝4，即a2＝4. 因为a＞0且a≠1，得a＝2. 即函数的解析式为f(x)＝2x. 答案　f(x)＝2x 4．函数y＝4x＋2的值域是_______． 解析　∵当x∈R,4x＞0，∴y＞2. 即值域为(2，＋∞)． 答案　(2，＋∞) 题型一　指数函数的概念 eq \a\vs4\al(自练悟通) 1．下列函数：①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝πx；④y＝xx.其中为指数函数的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 解析　函数y＝2×3x，y＝3x＋1，y＝xx均不符合指数函数解析式的特征，不是指数函数，而y＝πx符合指数函数的定义，是指数函数． 答案　B 2．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝_______. 解析　由题意a2－3a＋3＝1，即a2－3a＋2＝0. 解得a＝1或a＝2，而a＝1不符合指数函数的定义，故a＝2. 答案　2 3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,16)))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝_______. 解析　设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)， 因为f(x)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,16)))， 所以eq \f(1,16)＝a－2，所以a＝4，所以f(x)＝4x， 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝＝eq \f(1,8). 答案　eq \f(1,8) 判断一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．　 题型二　指数函数的图象问题 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(1)如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c (2)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？ [解析]　(1)解法一　①②中函数的底数小于1且大于0，在y轴右边，底数越小，图象向下越贴近x轴，故有b＜a，③④中函数的底数大于1，在y轴右边，底数越大，图象向上越贴近y轴，故有d＜c.故选B. 解法二　作直线x＝1，与函数①，②，③，④的图象分别交于A，B，C，D四点，将x＝1代入各个函数可得函数值等于底数值，所以交点的纵坐标越大，则对应函数的底数越大．由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B. (2)∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x，x＜0，)) ∴其图象由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥0)和y＝2x(x＜0)的图象合并而成． 而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x＞0)和y＝2x(x＜0)的图象关于y轴对称，所以原函数的图象关于y轴对称． 由图象可知值域是(0,1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)． [答案]　(1)B　(2)略 [母题变式] 1．(变条件)若将本例(2)中的函数改为y＝2|x|，如何解？ 解析　y＝2|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x＜0，))其图象是由y＝2x(x≥0)与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x＜0)两部分合并而成，则原函数的图象关于y轴对称，如图． 由图象可知，函数的值域为[1，＋∞)，单调递增区间为[0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0]． 2．(变条件、变结论)若把本例(2)中的函数改为y＝2|x＋1|，请画出它的图象． 解析　当x≥－1时，y＝2|x＋1|＝2x＋1； 当x＜－1时，y＝2|x＋1|＝2－(x＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1. 所以函数y＝2|x＋1|的图象如下图所示． eq \a\vs4\al([素养聚焦]　作图、识图过程中体现了直观想象等核心素养.) 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．　 [触类旁通] 1．(1)函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(　　) A．(0,1) B．(1,1) C．(2,0) D．(2,2) (2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析　(1)因为当x＝2时，y＝ax－2＋1＝2恒成立，所以函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(2,2)． (2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线的位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0. 答案　(1)D　(2)D 题型三　指数函数的定义域、值域问题 　(教材例4拓展)(1)函数y＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2x－1－27)的定义域是(　　) A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] (2)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(　　) A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞) (3)函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，则a的值是_______． [解析]　(1)由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2x－1－27≥0， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2x－1≥27，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2x－1≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3， 又指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x为R上的单调递减函数， 所以2x－1≤－3，解得x≤－1. (2)由f(x)的图象过点(2,1)可知b＝2，由f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，所以f(x)的值域为[1,9]，故选C. (3)①若a＞1，则f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a，所以a2－a＝eq \f(a,2)，即a＝eq \f(3,2)或a＝0(舍去)． ②若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2，所以a－a2＝eq \f(a,2)，即a＝eq \f(1,2)或a＝0(舍去)． 综上所述，a的值为eq \f(1,2)或eq \f(3,2). [答案]　(1)C　(2)C　(3)eq \f(1,2)或eq \f(3,2) 函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的定义域、值域： (1)定义域的求法．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． (2)函数y＝af(x)的值域的求法如下． ①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at(t∈M)的值域．　 [触类旁通] 2．(1)函数y＝ eq \r(1－3x)的定义域是_______； (2)函数的定义域为_______，值域为_______． 解析　(1)由1－3x≥0，得3x≤1＝30， 因为函数y＝3x在实数集上是增函数，所以x≤0，故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]． (2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为eq \f(1,|x|)＞0，又0＜eq \f(2,3)＜1， 所以，即值域为(0,1)． 答案　(1)(－∞，0] (2)(－∞，0)∪(0，＋∞)　(0,1) [缜密思维提能区] 易错辨析 因忽略换元后新变量的取值范围而致错 [典例]　已知a＞0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在区间[－1,1]上的最大值为14，求a的值． [错解]　∵y＝(ax＋1)2－2，又函数在区间[－1,1]上单调递增，∴当x＝1时，y取得最大值． ∴a2＋2a－1＝14，即a2＋2a－15＝0， ∴a＝3或a＝－5(舍去)．∴a＝3. [正解]　设t＝ax，则t＞0，当a＞1，且x∈[－1,1]时，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))；当0＜a＜1，且x∈[－1,1]时，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a))). ∵y＝(t＋1)2－2在(0，＋∞)上单调递增， ∴当a＞1时，y在t＝a处取得最大值， ∴a2＋2a－1＝14，∴a＝3. 当0＜a＜1时，y在t＝eq \f(1,a)处取得最大值， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2＋eq \f(2,a)－1＝14，∴a＝eq \f(1,3). 故a＝3或a＝eq \f(1,3). [纠错心得]　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝ax，则t＞0，一定要注意换元后新变量的取值范围． 知识落实 技法强化 1.指数函数的概念． 2．指数函数的图象与性质. 1.探究指数函数的性质时， 若底数不确定则需要对底数分类讨论． 2．图象的分布：底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)图象的影响如图所示(a1>a2>a3>a4)．在第一象限中具有“底大图高”的特征． $$