专题3.3.1 指数函数的概念（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

专题3.1.1 指数函数的概念 教学目标 理解指数函数的定义，牢记解析式的形式要求：底数为常数、指数为自变量x、前面系数必须为1；能准确区分指数函数与指数型函数。 理解底数限制条件a>0且a≠1的原因，能解释a<0、a=0、a=1时不能作为指数函数底数的理由。 掌握指数函数的定义域、值域，记住恒过定点(0,1)。 会求复合指数型函数的定义域；已知指数函数图像上的点，能够求出指数函数解析式。 能够结合指数型函数研究函数的奇偶性、周期性；掌握抽象指数型函数的赋值法；会建立指数函数模型处理半衰期、衰减增长等实际应用问题；能处理指数函数相关新定义题型。 教学重难点 1.重点 指数函数的概念，解析式的形式识别；区分指数函数与指数型函数。 底数a>0且a≠1的含义；指数函数定义域，值域，恒过定点(0,1)。 由图像上点求指数函数解析式；指数型复合函数定义域求解。 指数型函数奇偶性判断；指数函数简单实际建模。 2.难点 严格识别指数函数：系数为1、指数必须是自变量x，排除各类变形干扰；理解为什么要限定a>0,a≠1。 指数型复合函数结合奇偶性、周期性的综合求值；抽象函数赋值法的运用。 从实际问题提炼指数增长 / 衰减模型，读懂实际情境，建立函数关系式。 指数函数与新定义、信息阅读类综合问题，综合条件下分析函数性质。| 知识点 1：指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数。 形式严格要求： 底数：常数； 指数：自变量只能是单独的x； 系数：前面的系数必须为； 定义域：（全体实数）。 区分：指数型函数：形如 ，只是指数型，不是指数函数。 【即学即练】 函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 知识点 2：对底数a>0且a≠1的理解（定义限制原因） 若：比如，当无意义，部分x没有函数值； 若无意义； 若，是常函数，没有研究价值。 知识点 3：指数函数的定义域、值域 函数： 定义域：（全体实数） 值域： 重要结论：恒成立；指数函数函数值永远大于 0，函数不可能等于 0，也不可能小于 0。 知识点 4：指数函数的图像特征（概念部分基础） 表格 底数分类 过定点 恒过定点，即， 恒过定点 x 取 0 时， 时， 必记定点：不管取何值，指数函数一定经过(0,1)。 知识点 5：指数型函数定义域求法（复合） 形如 定义域：看指数部分\(f(x)\)有意义的x范围；本身恒大于 0，不用考虑值域对 x 限制。 题型 1：指数函数、幂函数定义辨析 【典例1】下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【变式1】已知函数是指数函数．求的表达式. 【变式2】已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 【变式3】若函数是指数函数，求的值. 题型 2：求指数函数解析式（过定点） 【典例1】下列函数中，哪些是指数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（是常数）. 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数： (1) (2) (3) (4) 【变式2】已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【变式3】已知函数 且过点． (1)求的值，并写出的解析式； (2)判断 的奇偶性，并用定义证明； (3)若 ，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式． 题型 3：函数奇偶性（指数型） 【典例1】若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 【变式1】已知函数为奇函数，则的值为__________. 【变式2】若为偶函数，则实数的值为________． 【变式3】已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 题型 4：函数周期性 + 奇偶性综合求值 【典例1】已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．3 B． C．33 D． 【变式1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D． 【变式2】函数是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．2 D． 【变式3】设是上的函数，若为奇函数，为偶函数，则的值为______． 题型 5：函数图像识别与图像变换 【典例1】函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】设函数，，则（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数在其定义域上为增函数 D．函数的值域为 【变式2】如图，函数与的图像交于和两点，其中，若，且为整数，则___________. 题型 6：指数函数实际应用建模 【典例1】人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】某生态文明小镇2025年年底人口为20万人，人均住房面积为，计划2029年年底人均住房面积达到，如果该镇将每年人口平均增长率控制在，那么要实现上述计划，该镇平均每年至少要新增住房多少万(精确到1万)． 题型 7：抽象函数赋值法求值与性质 【典例1】已知函数定义域为，，且当时，． (1)求证：； (2)求证：； (3)请判断的正负，并由此构造一个符合题目要求的函数表达式． 【变式1】已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B．曲线是轴对称图形 C． D．曲线是中心对称图形 【变式2】对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数定义域为，若，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 题型 8：新定义信息阅读题 【典例1】已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若对于给定的正实数，集合定义域内任意都有. (1)若，证明：； (2)若，且，求实数的取值范围. 【变式2】颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；它的桥梁结构为拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为，则以下说法错误的是（ ） A． B． C． D． 题型 9：指数型复合函数计算、最值、值域 【典例1】已知函数，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】已知函数在内的最大值和最小值分别为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知为常数且，函数的最小值为__________.（结果用表示） 【变式3】已知，若，则的最小值为________. 题型 10：综合解答大题 【典例1】比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 【变式1】设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 4．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 6．中国茶文化博大精深，某种红茶用90°C的热水冲泡，待水温降至时饮用口感最佳．已知室温为，经验表明，从开始，经过分钟后的温度为，可选用函数模型近似刻画茶水温度随时间变化的规律．则在上述条件下，该红茶达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（     ）（参考数据：） A．3 min B．5 min C．7 min D．9 min 7．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 9．若为偶函数，则=（     ） A．4 B．3 C． D．2 10．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 1．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知命题则是（    ） A． B． C． D． 3．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 4．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知是定义在上的奇函数，满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．8 B．5 C．3 D．0 8．已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数为奇函数，则的值为（   ）. A．0 B． C．2 D．1 10．函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 11．下列函数中，与是相等函数的是（   ） A． B． C． D． 12．已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．已知函数，则______. 14．若指数函数的图象经过点，则______，______． 15．指数函数过点，则______. 16．已知函数则的值是__________． 17．已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 18．已知是定义在上的奇函数，当时，，则______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.1 指数函数的概念 教学目标 理解指数函数的定义，牢记解析式的形式要求：底数为常数、指数为自变量x、前面系数必须为1；能准确区分指数函数与指数型函数。 理解底数限制条件a>0且a≠1的原因，能解释a<0、a=0、a=1时不能作为指数函数底数的理由。 掌握指数函数的定义域、值域，记住恒过定点(0,1)。 会求复合指数型函数的定义域；已知指数函数图像上的点，能够求出指数函数解析式。 能够结合指数型函数研究函数的奇偶性、周期性；掌握抽象指数型函数的赋值法；会建立指数函数模型处理半衰期、衰减增长等实际应用问题；能处理指数函数相关新定义题型。 教学重难点 1.重点 指数函数的概念，解析式的形式识别；区分指数函数与指数型函数。 底数a>0且a≠1的含义；指数函数定义域，值域，恒过定点(0,1)。 由图像上点求指数函数解析式；指数型复合函数定义域求解。 指数型函数奇偶性判断；指数函数简单实际建模。 2.难点 严格识别指数函数：系数为1、指数必须是自变量x，排除各类变形干扰；理解为什么要限定a>0,a≠1。 指数型复合函数结合奇偶性、周期性的综合求值；抽象函数赋值法的运用。 从实际问题提炼指数增长 / 衰减模型，读懂实际情境，建立函数关系式。 指数函数与新定义、信息阅读类综合问题，综合条件下分析函数性质。| 知识点 1：指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数。 形式严格要求： 底数：常数； 指数：自变量只能是单独的x； 系数：前面的系数必须为； 定义域：（全体实数）。 区分：指数型函数：形如 ，只是指数型，不是指数函数。 【即学即练】 函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 知识点 2：对底数a>0且a≠1的理解（定义限制原因） 若：比如，当无意义，部分x没有函数值； 若无意义； 若，是常函数，没有研究价值。 知识点 3：指数函数的定义域、值域 函数： 定义域：（全体实数） 值域： 重要结论：恒成立；指数函数函数值永远大于 0，函数不可能等于 0，也不可能小于 0。 知识点 4：指数函数的图像特征（概念部分基础） 表格 底数分类 过定点 恒过定点，即， 恒过定点 x 取 0 时， 时， 必记定点：不管取何值，指数函数一定经过(0,1)。 知识点 5：指数型函数定义域求法（复合） 形如 定义域：看指数部分\(f(x)\)有意义的x范围；本身恒大于 0，不用考虑值域对 x 限制。 题型 1：指数函数、幂函数定义辨析 【典例1】下列以为自变量的函数中不是指数函数的有（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【详解】由指数函数的定义：形如且的函数，其中指数为自变量，定义域是.根据定义逐一判断： 选项A：底数为，不满足指数函数底数大于的要求，不是指数函数，故A符合； 选项B：底数（满足且），符合指数函数定义，是指数函数，故B不符合； 选项C：函数可写为，指数部分的系数为，不符合“系数为”的要求，不是指数函数，故C符合； 选项D：解析式中指数不是自变量，这是一个值为常数的常函数，不是指数函数，故D符合. 【变式1】已知函数是指数函数．求的表达式. 【答案】 【详解】函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， 【变式2】已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 【答案】 【分析】根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可. 【详解】由题意有，解得或， 当时，，此时，，所以，舍去； 当时，，此时，，所以，满足题意． 故. 【变式3】若函数是指数函数，求的值. 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义列式求解即可. 【详解】解：因为函数是指数函数， 所以，，即， 所以. 题型 2：求指数函数解析式（过定点） 【典例1】下列函数中，哪些是指数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（是常数）. 【答案】(1)指数函数 (2)不是指数函数 (3)不是指数函数 (4)不是指数函数 (5)不是指数函数 【解析】略 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)是指数函数 (2)不是指数函数 (3)不是指数函数 (4)不是指数函数 【解析】略 【变式2】已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【答案】 【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出解析式. 【详解】设指数函数为，且，将代入得， 解得，故函数解析式为. 故答案为： 【变式3】已知函数 且过点． (1)求的值，并写出的解析式； (2)判断 的奇偶性，并用定义证明； (3)若 ，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式． 【答案】(1)， (2)奇函数，证明如下： 由（1）知，，定义域为，关于原点对称， 可得，故函数是奇函数； (3) 【分析】（1）由函数过点求解即可； （2）由题意可得，根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； （3）由题意可得，且，求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得或， 而，，故，则； （2）为奇函数，证明略； （3）因为，即，①，所以， 又因为为奇函数，为偶函数，所以，② 由①②可得，，故. 题型 3：函数奇偶性（指数型） 【典例1】若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 3 【详解】函数是定义在R上的奇函数，则，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以实数a的值为3. 【变式1】已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 【变式2】若为偶函数，则实数的值为________． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以， 即对恒成立， 即对恒成立， 故，即. 【变式3】已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 【答案】(1) (2)是偶函数，证明如下： ， 的定义域为，， ，所以是偶函数． 【详解】（1）由于所以，所以． （2）略 题型 4：函数周期性 + 奇偶性综合求值 【典例1】已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A．3 B． C．33 D． 【答案】D 【分析】根据周期性和奇偶性求出即可. 【详解】由题意可得，. 故选：D 【变式1】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先求出的值，根据函数的奇偶性即可求出的值. 【详解】因为当时，，所以， 又函数是定义在上的奇函数，所以. 故选：D 【变式2】函数是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数的周期性及奇函数的性质求出函数值. 【详解】由函数是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，， 得. 故选：A 【变式3】设是上的函数，若为奇函数，为偶函数，则的值为______． 【答案】 【分析】应用为奇函数可得，利用为偶函数可得，进而可得. 【详解】因为为上的奇函数，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以两式相加即得， 所以. 故答案为：. 题型 5：函数图像识别与图像变换 【典例1】函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与关于轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解. 【详解】设与关于轴对称的函数为，且为函数的图象上任一点， 则关于轴的对称点为，所以点在的图象上， 则，又的图象向左平移一个单位得到，所以， 故选：B. 【变式1】设函数，，则（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数在其定义域上为增函数 D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】对于A选项直接代入对应的函数解析式即可判断；先化简的解析式然后根据奇函数的定义去判断奇偶性；对于C选项先化简函数解析式再利用复合函数单调性去求单调性；对于D选项先化简函数解析式再根据二次函数反比例函数性质去求值域. 【详解】A：； ，本选项正确， B：， 令，此函数定义域为， ，故此函数为奇函数，本选项正确； C：，令， ， 由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且 由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小， 故当时，即时为减函数，所以本选项不正确； D：，令， 则， 因为所以由二次函数性质可知， 由反比例函数性质可知 所以，即， 所以函数的值域为，因此本选项正确. 故选：ABD 【变式2】如图，函数与的图像交于和两点，其中，若，且为整数，则___________. 【答案】 【分析】由且和以及且即可得解. 【详解】，，，，， ，，，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，且为整数，∴. 故答案为： 题型 6：指数函数实际应用建模 【典例1】人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数衰减模型可得，根据半衰期为8天列方程求解. 【详解】设碘-131的衰减率为，则， 由半衰期为天，可得，解得， 所以，. 故选：A. 【变式1】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，结合指数运算，可得答案. 【详解】由题意可得当时，污染物消除了，即剩余，因此， 代入公式，可得，解得. 当污染物剩余时，，代入公式可得，解得， 由，且，则，解得. 故选：B. 【变式2】某生态文明小镇2025年年底人口为20万人，人均住房面积为，计划2029年年底人均住房面积达到，如果该镇将每年人口平均增长率控制在，那么要实现上述计划，该镇平均每年至少要新增住房多少万(精确到1万)． 【答案】万. 【详解】2029年年底的人口为万人，所需住房总面积为万. 设平均每年新增住房万，由原有住房面积加上四年新增面积等于2029年所需面积， 得. 解得，精确到万为万. 题型 7：抽象函数赋值法求值与性质 【典例1】已知函数定义域为，，且当时，． (1)求证：； (2)求证：； (3)请判断的正负，并由此构造一个符合题目要求的函数表达式． 【答案】(1)由条件得，，，令，得到，故； (2) 由（1）知，，令，则：， 再令，则：，故. (3) 为正； 【分析】（1）直接将代入即可； （2）分别将代入，即可完成证明； （3）计算为正，因，满足，因此构造分段指数函数. 【详解】（1）略 （2）略 （3），结果为正； . 【变式1】已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B．曲线是轴对称图形 C． D．曲线是中心对称图形 【答案】ABD 【分析】对于A：令代入运算即可；对于B：令可得，结合奇偶性的定义分析判断；对于D：分析可知，结合对称性的定义分析判断；对于C：利用作差法分析判断. 【详解】因为，且函数的定义域为， 对于选项A：令，，解得，故A正确. 对于选项B：令，，解得， 则，所以函数是偶函数，故B正确； 对于选项D：因为，且， 则， 整理可得对任意x，y成立， 可知是常数，设，即， 则， 所以的图象关于点对称，故D正确； 对于选项C：因为， 因为的值未知，则的符号未知， 所以不能判断与的大小关系，故C错误； 故选：ABD. 【变式2】对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用赋值法计算判断A，C，应用 特殊函数计算判断B，多次应用已知条件计算判断D. 【详解】令，有，且，得，A成立； 令，得，C成立； 不妨设，满足，则，B不成立； ，D成立． 故选：B． 【变式3】已知函数定义域为，若，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合偶函数定义证明为偶函数，设，结合奇函数性质求，由此可得结论. 【详解】 已知， 令，则， 原式可化为，因此是偶函数， 设，由题知是奇函数， 故，即 ，又， 所以 代入得： . 题型 8：新定义信息阅读题 【典例1】已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式构造新函数，结合新函数的单调性和对称性、基本不等式进行求解即可. 【详解】构造新函数， 因为， 所以函数的图象关于点对称， ， 设是任意两个实数，且， ， 因为， 所以，， 所以，即， 所以函数是实数集上的增函数， ， 因为函数是实数集上的增函数，且函数的图象关于点对称， 所以， ， 因为，是两个正实数 所以， 即，当且仅当时等号成立，即， 即当时， 有最小值， 故选：C 【变式1】若对于给定的正实数，集合定义域内任意都有. (1)若，证明：； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：因为，定义域为，且， 当时，若取时，有，不满足使得定义域内任意都有， 故. (2) 【分析】（1）由题设可得，再结合题设定义，即可求解； （2）根据题设条件知恒成立，从而有恒成立，且，再利用一元二次不等式恒成立，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题知，对任意的，有， 又由题知，则需使，整理得，解得或（舍） 所以实数的取值范围为. 【变式2】颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；它的桥梁结构为拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为，则以下说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照函数新定义以及指数幂的运算化简判断ABC选项；举反例判断D选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A项，可得， 则 ，故C正确； 对于D，取，则， ， 而， 则，故D错误. 故选：D 题型 9：指数型复合函数计算、最值、值域 【典例1】已知函数，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式1】已知函数在内的最大值和最小值分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后求得正确答案. 【详解】因为， 所以，所以是奇函数， 因此，即． 故选：D 【变式2】已知为常数且，函数的最小值为__________.（结果用表示） 【答案】 【分析】令，根据基本不等式得到；根据二次函数的对称轴与区间的关系，结合单调性求解即可. 【详解】 . 令，则，当且仅当时，等号成立. 又， 所以. 令，对称轴，开口向上. 因为，所以对称轴在区间的左侧，即在上单调递增， 所以. 故函数的最小值为. 【变式3】已知，若，则的最小值为________. 【答案】 【详解】，当且仅当时取等号. 题型 10：综合解答大题 【典例1】比较大小； (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （2）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得； （3）构造幂函数，再利用函数的单调性判断可得. 【详解】（1）因为，所以，因为幂函数在上单调递增， 所以，即. （2）因为幂函数在上单调递增，且， 所以，即. （3）因为幂函数在上单调递减，且， 所以，即. 【变式1】设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【详解】（1）由于，则, （2）由题可得，, 所以 . （3）由(2)可得当时， ， 设 , 则， 所以, 所以. 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 2．下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A：是指数函数，故A符合题意； 对于选项B：是幂函数，故B不符合题意； 对于选项C：是幂函数，故C不符合题意； 对于选项D：是幂函数，故D不符合题意. 3．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． 4．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 5．已知函数，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】， 所以. 6．中国茶文化博大精深，某种红茶用90°C的热水冲泡，待水温降至时饮用口感最佳．已知室温为，经验表明，从开始，经过分钟后的温度为，可选用函数模型近似刻画茶水温度随时间变化的规律．则在上述条件下，该红茶达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（     ）（参考数据：） A．3 min B．5 min C．7 min D．9 min 【答案】A 【详解】令，得， 则需要放置的时间最接近的是 min 7．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得，则定义域为关于原点对称， 又，则为偶函数，排除C，D选项； 又，排除B， 选项A符合以上要求. 8．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ， 所以. 9．若为偶函数，则=（     ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】∵为偶函数，∴， 又， ∴. 10．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 1．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 2．已知命题则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】由题意得：. 故选：C. 3．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令、求出，再令即可求出. 【详解】当时，；当时，，即， 当时，，即后，还剩64%的污染物， 所以前消除的污染物的占比为. 故选：B. 4．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，再结合指数运算，利用周期性计算求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 因为为偶函数，所以，所以， 令，所以， 故， 所以，所以4为的一个周期， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 5．已知是定义在上的奇函数，满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数得，又因为，故有，再代入，即可得解. 【详解】由题可知，是奇函数，故有， 又由，可得， 则. 故选：C. 6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项构造函数，利用判断A、B、D，根据奇函数的定义判断C. 【详解】对于A：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，A错误； 对于B：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，B错误； 对于C：令，则定义域为， 因为 ，即所以是奇函数，C正确； 对于D：令，则定义域为， 因为，所以不是奇函数，D错误； 故选：C. 7．已知函数，则（    ） A．8 B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】先利用换元法求的解析式，再代入计算即可. 【详解】令，则，， 即， . 故选：D. 8．已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的解析式，代入已知点，结合指数式的运算，可得答案. 【详解】由题意，食品在的保鲜时间是． 将代入函数，得，所以． 因为食品在的保鲜时间是，所以，即． 又因为，所以，则． 当时，． 又因为，所以， 则， 所以该食品在的保鲜时间是． 故选：C． 9．已知函数为奇函数，则的值为（   ）. A．0 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】因为函数为奇函数， 当时，，则，所以， 又，则，即. 故选：C 10．函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 11．下列函数中，与是相等函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相等函数的判断方法：定义域、对应关系均相等判断即可. 【详解】的定义域为. 对于A，的定义域为，对应关系也一样，所以两者是相等函数； 对于B，的定义域为，定义域及对应关系与均不相同，所以两者不是相等函数； 对于C，的定义域为，定义域及对应关系与均不相同，所以两者不是相等函数； 对于D，的定义域为，定义域及对应关系与均不相同，所以两者不是相等函数. 故选：A. 4 12．已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 13．已知函数，则______. 【答案】 【详解】， ， ． 14．若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 15．指数函数过点，则______. 【答案】 【详解】设， 由题意，所以. 16．已知函数则的值是__________． 【答案】 【详解】 17．已知是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性计算即可. 【详解】. 18．已知是定义在上的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求函数值． 【详解】． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $