第3章 1 指数幂的拓展&2 指数幂的运算性质(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该高中数学课件聚焦指数幂的拓展与运算性质，涵盖根式、分数及无理数指数幂的概念，通过类比平方根到n次方根的问题链导入，搭建从整数指数幂到实数指数幂的认知支架，衔接前后知识逻辑。 其亮点在于以问题驱动概念形成，如课前案用具体实例引出n次方根定义，发展数学抽象素养。课堂案分题型训练，如条件求值题通过整体代入提升数学运算能力，课堂小结用表格梳理知识与技法，助力学生系统掌握，也为教师提供结构化资源，提升教学效率。

第三章　指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 §2　指数幂的运算性质 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学1 正分数指数幂、负分数指数幂 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 正 整 正 bn＝am 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学2 无理数指数幂 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学3 指数幂的运算性质 aα＋β aαβ aαbα 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第三章　指数运算与指数函数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.通过对有理数指数幂 (a＞0，且a≠1，m，n为整数，且m，n互素)，实数指数幂aα(a＞0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程．(难点) 2．掌握指数幂的运算性质．(重点) 1.通过指数幂有关概念的学习，主要发展数学抽象等核心素养． 2．通过指数幂的运算主要提升数学运算等核心素养. 　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？ [提示]　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1024，我们把±2叫做1024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根． 　那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如eq \r(3,a2)，eq \r(4,a2)，eq \r(3,a5)，eq \r(9,a3)，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ [提示]　 ◎结论形成 分数指数幂的意义 1．正分数指数幂 给定___数a和正___数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的___数b，使得__________，则称b为a的eq \f(m,n)次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂． 2．负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义 ，这就是负分数指数幂． 　我们将正整数指数幂扩充到有理数指数幂，那么指数幂的范围能扩充到无理数指数幂吗？能扩充到实数指数幂吗？ [提示]　能． ◎结论形成 给定正数a，对于任意的正无理数α，规定：a－α＝___. eq \f(1,aα) 对任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面运算性质： (1)aα·aβ＝_____；(2)(aα)β＝_____； (3)(ab)α＝__________；(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))α＝eq \f(aα,bα). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)eq \r(6,－22)＝eq \r(3,－2).(　　) (2)对于a∈R，(a2＋a＋1)0＝1成立．(　　) (　　) (　　) 解析　(1)eq \r(6,－22)＝eq \r(3,2). (2)因为a2＋a＋1≠0，所以(a2＋a＋1)0＝1成立． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.eq \r(5,a－2)可化为(　　) 解析　 答案　A 3．下列等式一定成立的是(　　) 解析　 答案　D 4. 的值为_____． 解析　原式＝－(2－1)3＝eq \f(9,4)－eq \f(9,16)－eq \f(1,8)＝eq \f(25,16). 答案　eq \f(25,16) 题型一　根式与分数指数幂的互化 eq \a\vs4\al(自练悟通) 1．设a＞0，则eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂是(　　) 解析　 答案　C 2．(多选)下列各式中正确的是(　　) 答案　CD 3．(教材例1拓展)用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)． (1)a2eq \r(a)；(2) eq \r(a\r(a))；(3)eq \r(3,a2)·eq \r(a3)；(4)(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3). 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数分数指数幂的分母． 被开方数(式)的指数分数指数幂的分子． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．　 题型二　指数幂运算性质的应用 　(教材例2迁移)(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))－eq \f(3,4)＝_______； (2)计算下列各式． [解析]　(1)eq \f(27,8). (2)①原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝eq \f(5,2)－1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＝eq \f(27,16). [答案]　(1)eq \f(27,8)　(2)略 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．　 [触类旁通] 题型三　条件求值问题 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(教材例4拓展)已知＝eq \r(5)(a＞0)，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解析]　(1)将＝eq \r(5)的两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)由a＋a－1＝3， 两边平方，得a2＋a－2＋2＝9， 即a2＋a－2＝7. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求a2－a－2的值． 解析　设y＝a2－a－2，两边平方，得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45. 所以y＝±3eq \r(5)，即a2－a－2＝±3eq \r(5). 2．(变条件)将本例中的条件改为a2＋a－2＝3，求a＋a－1的值． 解析　∵a2＋a－2＝3，∴(a＋a－1)2－2＝3， 即(a＋a－1)2＝5，故a＋a－1＝±eq \r(5). [素养聚焦]　通过整体代入，合理运算，提高运算求解能力，进而提升数学运算等核心素养. 条件求值的步骤 [触类旁通] 2．(1)若a>1，b>0，ab＋a－b＝2eq \r(2)，则ab－a－b等于_______． (2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值． 解析　(1)因为a>1，b>0，所以ab>a－b， (ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2eq \r(2))2－4＝4， 所以ab－a－b＝2. (2)因为 ＝eq \f(x＋y－2xy\f(1,2),x－y)，① 又因为x＋y＝12，xy＝9，② 所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 因为x<y，所以x－y＝－6eq \r(3)，③ 将②③式代入①式得＝－eq \f(\r(3),3). 答案　(1)2　(2)略 知识落实 技法强化 1.根式的定义和性质． 2．分数指数幂的意义． 3．指数幂的运算法则. 1.正确区分(eq \r(n,a))n与eq \r(n,an)两式． 2．指数幂运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂． (2)化根式为分数指数幂． (3)化小数为分数进行运算. $$