7.2.1 古典概型的概率计算公式(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　古典概型 2．1　古典概型的概率计算公式 学业标准 素养目标 1.理解古典概型的特征和计算公式，会判断古典概型．(难点) 2．会求古典概型中事件的概率．(重点) 1.通过学习古典概型等概念，培养数学抽象等核心素养． 2．通过计算古典概型的概率，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学 古典概型 　“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？ [提示]　不属于．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型． 　若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？ [提示]　不一定符合．还必须满足每个基本事件出现的可能性相等才符合古典概型． ◎结论形成 1．随机事件的概率 对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率．概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画． 2．古典概型 (1)古典概型的定义：若试验E具有如下特征： ①有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间； ②等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等． 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型． (2)古典概型的概率计算公式：如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为 P(A)＝＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“种下一粒花生，观察它是否发芽”的试验是古典概型．(　　) (2)“向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合”的试验是古典概型．(　　) (3)“从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率”是古典概型．(　　) (4)“在区间(0,5)内任取一点，求此点小于2的概率”是古典概型．(　　) 解析　对于(1)，发芽与不发芽的概率一般不相等，不满足等可能性，故不正确；对于(2)，正方形内点的个数有无限多个，不满足有限性，故不正确；对于(3)，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于(4)，区间内的点有无限多个，不满足有限性，故不正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有(　　) A．3种　　　　　　　 B．4种 C．6种 D．12种 解析　(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)共6种． 答案　C 3．某校高二年级的学生要从音乐、美术、体育三门课程中任选两门学习，则所有可能的结果共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析　选学的所有可能情况是：{音乐，美术}，{音乐，体育}，{美术，体育}，所以共有3个． 答案　B 4．(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　) A. B． C. D． 解析　无放回随机抽取2张方法有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种，其中数字之积为4的倍数的是14,24,26,34,45,46共6种，P＝＝，故选C. 答案　C 题型一　古典概型的判断 1．求出下列各试验的样本空间Ω，并指出其样本点的总数． (1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验； (2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验． 解析　(1)从三个字母中任取两个字母的样本空间为Ω＝{ab，ac，bc}，样本点的总数为3. (2)从袋中取两个球的样本空间为： Ω＝{球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5}，样本点的总数为10. 2．做投掷2枚均匀骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． 解析　(1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}． (2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． (3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)． 1．古典概型的特征 (1)有限性；(2)等可能性． 2．求试验的样本空间的基本方法是列举法．当样本点的个数较多时还可应用列表或树形图求解．　 题型二　利用古典概型公式求概率 　(教材例1拓展)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求： (1)样本空间的样本点的总数； (2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数； (3)摸出2个黑球的概率． [解析]　由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球， 样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点． (2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点． (3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为. [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求摸出1个白球和1个黑球的概率． 解析　样本点总数为6， 事件“摸出1个白球和1个黑球”＝{(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)}，共3个样本点，所以P＝＝，即摸出1个白球和1个黑球的概率为. 1．古典概型求法步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n； (2)确定所求事件包含的样本点的个数m； (3)P(A)＝. 2．使用古典概型概率公式应注意 (1)首先确定是否为古典概型； (2)A事件是什么，包含的样本点有哪些．　 [触类旁通] 1．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A.　　　 B．　　　　 C.　　　 D． 解析　画出树状图： 甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，故样本空间中有24个样本点，其中事件“丙不在排头，且甲或乙在排尾”共有8个样本点．所以所求概率为＝，故选B. 答案　B 题型三　较复杂的古典概型问题 　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，若这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时． (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率． [解析]　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来： 如上图所示，本题中的样本点的总数为24. (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝. (2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝. (3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝＝. [素养聚焦]　在利用古典概型的概率公式计算求解时，把数学模型的核心素养体现在解题过程中. 1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况． 2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出基本事件的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．　 [触类旁通] 2．先后抛掷两枚大小相同的骰子． (1)求点数之和出现7点的概率； (2)求出现两个4点的概率； (3)求点数之和能被3整除的概率． 解析　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种． (1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)． 故P(A)＝＝. (2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4)．故P(B)＝. (3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)． 故P(C)＝＝. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 古典概型的应用 [典例]　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道，甲、乙两人依次各抽取一道题，求甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率． [解析]　设3道选择题分别为A，B，C,2道填空题分别为D，E，甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(A，E)，(E，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(B，E)，(E，B)，(C，D)，(D，C)，(C，E)，(E，C)，(D，E)，(E，D)20种，甲抽到选择题， 乙抽到填空题的情况有(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，共6种，故所求概率为＝. [纠错心得]　“无放回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的基本事件总数时要注意对事件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性．而“无放回抽取”中的“逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分．如本题“甲、乙依次各抽取一题”与“甲、乙共抽两道题”不同，前者与顺序有关，后者与顺序无关．因此古典概型的应用的关键点，一是等可能性，二是是否与顺序有关． 知识落实 技法强化 1.古典概型的概念． 2．古典概型的概率公式. 1.根据公式P(A)＝计算古典概型概率的关键是求出事件A所包含的样本点数k，并且注意n种结果必须是等可能的． 2．“无序”与“有序”的区别：“无序”指取出的元素没有先后次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序，常用“依次取出”表述. 学科网（北京）股份有限公司 $$