2.2古典概型的概率计算 第1课时 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦古典概型的概率计算，通过商场抽奖情境导入，对比有放回与无放回取球的中奖概率问题，衔接“无序与有序”“有放回与无放回”的核心区别，以自我诊断题夯实基础，构建知识支架。 其亮点是情境化问题驱动，结合数学建模与数学运算，通过典型例题（如四人排队、空气质量分析）和三级演练（基础到拓展），培养学生用数学思维解决实际问题，助力学生落实核心素养，教师可提升教学效率。

第一课时 古典概型的概率计算 新课程标准解读 核心素养 能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建 概率模型，解决简单的实际问题 数学运算、数 学建模 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0， 1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放 回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等 奖，等于5则中二等奖，等于4或3则中三等奖. 【问题】　（1）求中奖的概率？ 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）若上述问题改为每次取出一个球后不放回，中奖的概率是否发 生变化？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　列样本点时要注意两类不同表述的区别 在利用古典概型求解实际问题时，首先判断该试验是否具有两大特 征——有限性和等可能性，同时在获取题干中的信息时，注意以下两 类不同的表述： （1）“无序”与“有序”的区别：“无序”指取出的元素没有先后 次序，常用“任取”表述，而“有序”指取出的元素有顺序， 常用“依次取出”表述； （2）“有放回”与“无放回”的区别：“有放回”取出的元素可以 重复，而“无放回”取出的元素没有重复. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M ， I ， N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字， 则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　开机密码的所有样本点有：（ M ，1），（ M ，2）， （ M ，3），（ M ，4），（ M ，5），（ I ，1），（ I ，2）， （ I ，3），（ I ，4），（ I ，5），（ N ，1），（ N ，2），（ N ， 3），（ N ，4），（ N ，5），共15个，所以小敏输入一次密码能 够成功开机的概率是 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，若从袋中摸出一个 后放回，再摸出一个，则第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率 是 ；若从袋中依次无放回地摸出两球，则第一次摸出红球，第 二次摸出白球的概率是 ⁠. 　 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：有放回地取球.样本空间为{（红，红），（红，白）， （红，黄），（白，白），（白，红），（白，黄），（黄， 红），（黄，白），（黄，黄）}，第一次摸出红球，第二次摸出 白球，只包含（红，白）1个样本点，故所求概率为 .无放回地取 球.样本空间为{（红，白），（红，黄），（白，红），（白， 黄），（黄，红），（黄，白）}，所以先摸出红球，再摸出白球 的概率是 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 “有放回”与“不放回”问题 【例1】　口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： （1）从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； 解：无放回地取球.任意摸出两个小球的样本空间为{（红， 白），（红，黄），（白，黄）}，所以摸出的是红球和白球的 概率为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一 白的概率. 解：有放回地取球.样本空间为{（红，红），（红，白）， （红，黄），（白，白），（白，红），（白，黄），（黄， 红），（黄，白），（黄，黄）}，而事件“摸出一红一白”包 括（红，白），（白，红）2个样本点，所以两次摸出的球是一 红一白的概率为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点： 一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的 条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本 点的总数是有影响的.另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可， 有放回抽样要看作有序抽取. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机 抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 为（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　先后有放回地抽取2张卡片的情况有（1，1），（1，2）， （1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3）， （2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种.其 中满足条件的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4， 2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共10 种情况.因此所求的概率为 P ＝ ＝ .故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 建立概率模型解决问题 【例2】　甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列 事件的概率： （1）甲在边上； 解：利用树状图 来列举样本点， 如图所示. 由树状图可看出 共有24个样本点. 目录 数学·必修第一册（BSD） 甲在边上有12种情形： （甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙， 丁），（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙），（甲， 丁，丙，乙），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲）， （丙，乙，丁，甲），（丙，丁，乙，甲），（丁，乙，丙， 甲），（丁，丙，乙，甲）. 故甲在边上的概率为 P ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）甲和乙都在边上； 解：甲和乙都在边上有4种情形： （甲，丙，丁，乙），（甲，丁，丙，乙），（乙，丙，丁， 甲），（乙，丁，丙，甲）， 故甲和乙都在边上的概率为 P ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）甲和乙都不在边上. 解：甲和乙都不在边上有4种情形： （丙，甲，乙，丁），（丙，乙，甲，丁），（丁，甲，乙， 丙），（丁，乙，甲，丙）， 故甲和乙都不在边上的概率为 P ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地 把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况. 在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树 状图则是解决此类问题的较好方法. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 有 A ， B ， C ， D 四位贵宾，应分别坐在 a ， b ， c ， d 四个席位上， 现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座. （1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：将 A ， B ， C ， D 四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示 出来. a 席位 b 席位 c 席位 d 席位 目录 数学·必修第一册（BSD） a 席位 b 席位 c 席位 d 席位 a 席位 b 席位 c 席位 d 席位 a 席位 b 席位 c 席位 d 席位 由图可知，所有的等可能样本点共有24个. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）设事件 A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件 A 只包含1个样本点，所以 P （ A ）＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； 解： 设事件 B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件 B 包含9个样本点，所以 P （ B ）＝ ＝ . 解：设事件 C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事 件 C 包含8个样本点，所以 P （ C ）＝ ＝ . （3）求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 古典概型的综合应用 【例3】　如图所示是某市2024年2月1日至14日的空气质量指数趋势 图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数 大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一 天到达该市，并停留3天. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求此人到达当日空气质量优良的概率； 解：在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日这2天的空气 质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率 P ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）求此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染的概率. 解：根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度 污染”，即“此人在该市停留期间有0天空气重度污染或仅有1 天空气重度污染”. “此人在该市停留期间有0天空气重度污染”等价于“此人到达 该市的日期是4日或8日或9日”. “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到 达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”. 所以“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”包含8个 样本点， 所以“此人停留期间至多有1天空气重度污染”的概率为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　概率问题常常与统计问题结合在一起考查，涉及方程或者函数的 有关概率问题，考查的是如何计算要求的事件 A 所包含的样本点的个 数，通常需要将函数与方程的知识应用其中.解决此类问题，只需要 利用函数、方程知识找出满足条件的参数的范围，从而确定样本点的 个数，最后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a ， 第二次出现的点数为 b ，试就方程组解的情况，解答 下列各题： 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求方程组只有一个解的概率； 解：若第一次出现的点数为 a ，第二次出现的点数为 b 记为有序 数值组（ a ， b ），则所有可能出现的结果有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1， 6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）， （2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3， 5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）， （4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5， 4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3）， （6，4），（6，5），（6，6），共36种. 目录 数学·必修第一册（BSD） 由方程组可得 若方程组只有一个解，则 b ≠2 a ，满足 b ＝2 a 的有（1，2）， （2，4），（3，6），故适合 b ≠2 a 的有36－3＝33（个）. 其概率为 P1＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）求方程组只有正数解的概率. 解：方程组只有正数解，需满足 b －2 a ≠0且 分两种情况：当2 a ＞ b 时，得 当2 a ＜ b 时，得 目录 数学·必修第一册（BSD） 易得包含的样本点有13个：（2，1），（3，1），（4，1）， （5，1），（6，1），（2，2），（3，2），（4，2），（5， 2），（6，2），（1，4），（1，5），（1，6），因此所求的 概率 P2＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 在建国70周年国庆阅兵中，某兵种 A ， B ， C 三个方阵按一定次序 通过主席台，若先后次序是随机排定的，则 B 先于 A ， C 通过的概 率为（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　用（ A ， B ， C ）表示 A ， B ， C 通过主席台的次序，则 试验的样本空间为Ω＝{（ A ， B ， C ），（ A ， C ， B ），（ B ， A ， C ），（ B ， C ， A ），（ C ， A ， B ），（ C ， B ， A ）}， 共6个样本点，其中 B 先于 A ， C 通过的有（ B ， C ， A ）和（ B ， A ， C ），共2个样本点，故所求概率 P ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值班工作，则 甲、乙均不被选中的概率为（　　） A. C. 　 D. 解析：　从甲、乙、丙、丁、戊五人中选两人担任五月一日的值 班工作，有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙 丁、丙戊、丁戊，共10种选法，其中甲、乙均不被选中的有3种， 所以所求事件的概率为 .故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益 活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的 概率为（　　） A. C. 　 D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　2名男生记为 A1， A2，2名女生记为 B1， B2，任意选择两 人在星期六、星期日参加某公益活动，样本空间Ω＝{ A1 A2， A1 B1， A1 B2， A2 B1， A2 B2， B1 B2， A2 A1， B1 A1， B2 A1， B1 A2， B2 A2， B2 B1}，共12个样本点，而星期六安排一名男生、星 期日安排一名女生有 A1 B1， A1 B2， A2 B1， A2 B2，4个样本点，则 星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率 P ＝ ＝ .故 选A. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 一个袋子中装有编号分别为1，2，3，4的4个小球，现有放回地摸 球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为 x ，第二 次摸到的球的编号为 y ，构成数对（ x ， y ），则所有数对（ x ， y ）中满足 xy ＝4的概率为（　　） A. C. 　 D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由题意可知两次摸球得到的所有数对（ x ， y ）有（1， 1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2）， （2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3， 4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，其中 满足 xy ＝4的数对有（1，4），（2，2），（4，1），共3个.故所 求事件的概率为 . 目录 数学·必修第一册（BSD）   解析：由题意可得，样本点总数为4×4＝16.用有序实数对（ m ， n ）表示可能出现的结果，则 m ≥ n ＋1包含的样本点有（2，1）， （3，2），（3，1），（4，3），（4，2），（4，1），总共6 个，∴ m ≥ n ＋1的概率为 ＝ . 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 解析：　把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是 00111，10011，11001，11100，01011，01101，01110，10101， 10110，11010，其中2个0不相邻的排法有6种，分别是01011， 01101，01110，10101，10110，11010，所以所求概率为 ＝0.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 2.  (2025高二上·中山月考) 现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（　　） A. B.  C. D.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　4名男志愿者用1，2，3，4表示，2名女志愿者用a，b表示，从这6名男志愿者中随机抽取的2人的基本事件有： {1,2} {1,3} {1,4} {1,a} {1,b} {2,3} {2,4} {2,a} {2,b} {3,4} {3,a} {3,b} {4,a} {4,b} {a,b} 共15种情况，其中抽取的2名志愿者中有一男一女的基本事件有： {1,a} {1,b} {2,a} {2,b} {3,b} {4,a} 共有8个基本事件， ∴抽取的2名志愿者中有一男一女的概率. 故答案为：D.. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方 形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互 垂直的概率是（　　） A. C. 　 D. 解析：　正方形四个顶点可以确定6条直线，甲、乙各自任选一 条共有36个样本点.两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对 角线），其包含10个样本点，所以所求概率等于 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条 线段为边可以构成三角形的概率是 ⁠. 解析：此试验的样本空间Ω＝{（2，3，4），（2，3，5），（2， 4，5），（3，4，5）}，共有4个样本点，设事件 A ＝“可构成三 角形”，则 A ＝{（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）}，共 有3个样本点，故 P （ A ）＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收 集有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟” 问题讲的是古代劳动人民的赋税问题.现拟编试题：已知甲、乙、 丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交税且乙不是第三个交 税的概率为（　　） A. C. 　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　根据题意，甲、乙、丙、丁四县向国家按顺序交税的 可能情况共有24种（此处不再一一列出），其中满足条件的情况 为（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，丁， 乙），（甲，丁，丙，乙），共4种，故所求概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 6. 一个三位数，它的个、十、百位上的数字依次为 x ， y ， z ，当且 仅当 y ＞ x ， y ＞ z 时，称这样的数为“凸数”（如243）.现从集 合{5，6，7，8}中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三 位数是“凸数”的概率为（　　） A. C. 　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　从集合{5，6，7，8}中取出3个不同的数组成一个三位 数，共有24个结果，其中是“凸数”的是576，675，586，685， 587，785，687，786，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的 概率为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $