7.2.1古典概型的概率计算公式课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦古典概型的含义及概率计算公式，以“齐王与田忌赛马”情境导入，引导学生从实际问题中抽象出有限性和等可能性特征，通过课前预习、自我诊断构建知识支架，衔接典型例题的应用与拓展。 其亮点在于情境生活化与问题梯度化，通过“四步”法等通性通法培养数学思维和运算能力，如掷骰子问题用表格列举样本点，转盘问题结合实际活动。帮助学生从具体到抽象理解概念，教师可直接利用例题和训练提升教学效率。

2.1　古典概型的概率计算公式 新课程标准解读 核心素养 结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中 简单随机事件的概率 数学抽象、数学 运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上 马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于 齐王的下马.现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛，胜两场以 上（含两场）即为获胜. 【问题】　（1）若齐王知道田忌马的出场顺序，他获胜的概率是 多大？ 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）如田忌知道齐王马的出场顺序，他能获胜吗？若双方均不知对 方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　古典概型 1. 古典概型的含义 一般地，若试验 E 具有如下特征： （1）有限性：试验 E 的样本空间Ω的样本点总数 ，即样 本空间Ω为 样本空间； （2）等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可 能性 ⁠. 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型. 有限　 有限　 相等　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 古典概型的概率计算公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为 n ，随机事 件 A 包含的样本点个数为 m ，那么事件 A 发生的概率为 P （ A ）＝ ＝ 　 　. 【想一想】 若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是 古典概型吗？ 提示：不一定，还必须满足每个样本点出现的可能性相等. 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）古典概型中每个事件发生的可能性相同. （　×　） （2）古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限 的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现 是等可能的. （　√　） × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） （4）从甲地到乙地共 n 条线路，且这 n 条线路长短各不相同，求某 人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题. （　√　） （3）用古典概型的概率公式可求“在线段[0，5]上任取一点，此 点小于2”的概率. （　×　） × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 下列试验中，是古典概型的有（　　） A. 某人射击中靶或不中靶 B. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任 取一个 C. 四位同学用抽签法选一人参加会议 D. 运动员投篮，观察是否投中 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不 是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个， 所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4 种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员 投篮投中与没有投中的概率不相等，所以D不是古典概型. 目录 数学·必修第一册（BSD）   解析：试验所包含的样本点有（红，红），（红，白），（红， 蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红）， （蓝，白），（蓝，蓝），共9种，其中颜色相同的有（红， 红），（白，白），（蓝，蓝），共3种，故所求的概率为 P ＝ ＝ . 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 古典概型的判断 【例1】　（多选）下列概率模型不属于古典概型的是（　　） A. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环 B. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 C. 一只使用中的灯泡的寿命长短 D. 中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该 品牌月饼评“优”或“差” 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　A不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率 不一定相同，不满足等可能性；B属于，原因是满足有限性，且任 选1人与学生的性别无关，是等可能的；C不属于，原因是灯泡的 寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不 属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相 同，不满足等可能性. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 判断一个试验是否为古典概型的依据 　　判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特 征——有限性和等可能性，二者缺一不可. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 下列概率模型中，是古典概型的个数为（　　） ①从集合{ x ∈R｜1≤ x ≤10}中任取一个数，求取到4的概率；②从集 合{ x ∈Z｜1≤ x ≤10}中任取一个数，求取到4的概率；③从装有2个 白球和3个红球的盒子中任取2个球（除颜色外其他均相同），求取到 一白一红的概率；④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向 上的概率. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　①不是古典概型.因为从区间[1，10]内任取一个数，虽满 足等可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限 性”这个条件.②是古典概型.因为试验结果只有10个，并且每个数被 取到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可 能性”.③是古典概型，道理同②.④不是古典概型.虽然试验的结果 只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 较为简单的古典概型问题 【例2】　同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ 解：把两个骰子标上记号1，2以便区分，可能结果如表所示： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 目录 数学·必修第一册（BSD） 1 2 3 4 5 6 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 所以同时掷两个骰子的结果共有36种. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ 解：由表可知，向上的点数之和是5的结果有（1，4），（2， 3），（3，2），（4，1），共4种. （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 解：记事件 A 表示“向上的点数之和为5”，由（2）可知，事 件 A 包含的样本点个数为4.于是由古典概型的概率计算公式可 得 P （ A ）＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，求向上的点数之和不大于7的概率？ 解：记“点数之和不大于7”这一事件为 C ，则 C ＝{（1，1）， （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2， 1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1）， （3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4， 3），（5，1），（5，2），（6，1）}，样本点共有21个.∴ P （ C ）＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变设问）本例条件不变，求向上的点数之和等于3的倍数的概 率？ 解：记“点数之和等于3的倍数”为事件 D ，即点数和为3，6，9， 12的情形，则 D ＝{（1，2），（1，5），（2，1），（2，4）， （3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5， 4），（6，3），（6，6）}，样本点共有12个. ∴ P （ D ）＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 “四步”法求解古典概型的概率 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 甲、乙两人有三个不同的学习小组 A ， B ， C 可以参加，若每人必 须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相 同），则两人参加同一个学习小组的概率为（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　甲、乙两人参加学习小组，若以（ A ， B ）表示甲参加 学习小组 A ，乙参加学习小组 B ，则样本空间Ω＝{（ A ， A ）， （ A ， B ），（ A ， C ），（ B ， A ），（ B ， B ），（ B ， C ）， （ C ， A ），（ C ， B ），（ C ， C ）}，其中两人参加同一个学习 小组共包含3个样本点，所以所求概率为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派 出2男2女共4名职工，若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行 比赛，求选出的2名职工性别相同的概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：记甲厂派出的2名男职工为 A1， A2，女职工为 a ；乙厂派出的2 名男职工为 B1， B2，2名女职工为 b1， b2.从甲厂和乙厂报名的职 工中各任选1名，不同的结果有（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， b1），（ A1， b2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， b1）， （ A2， b2），（ a ， B1），（ a ， B2），（ a ， b1），（ a ， b2），共12种.其中选出的2名职工性别相同的结果有（ A1， B1）， （ A1， B2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ a ， b1），（ a ， b2），共6种. 故选出的2名职工性别相同的概率为 ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 较为复杂的古典概型问题 【例3】　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活 动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动 时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x ， y .奖励规 则如下： ①若 xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若 xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求小亮获得玩具的概率； 解：用数对（ x ， y ）表示儿童参加活动先后记录的数，则样本 空间Ω与点集 S ＝{（ x ， y ）｜ x ∈N， y ∈N，1≤ x ≤4，1≤ y ≤4}一一对应. 因为 S 中元素的个数是16， 所以样本点总数 n ＝16. 记“ xy ≤3”为事件 A ， 则事件 A 包含的样本点共5个，即 A ＝{（1，1），（1，2）， （1，3），（2，1），（3，1）}. 所以 P （ A ）＝ ，即小亮获得玩具的概率为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 解：记“ xy ≥8”为事件 B ，“3＜ xy ＜8”为事件 C . 则事件 B 包含的样本点共6个，即 B ＝{（2，4），（3，3）， （3，4），（4，2），（4，3），（4，4）}. 所以 P （ B ）＝ ＝ . 事件 C 包含的样本点共5个， 即 C ＝{（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1）}. 所以 P （ C ）＝ .因为 ＞ ， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但 是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两 个问题： （1）试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性； （2）计算样本点的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格 及树状图等列出所有样本点. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽 奖方法是：从装有2个红球 A1， A2和1个白球 B 的甲箱与装有2个红球 a1， a2和2个白球 b1， b2的乙箱中各随机摸出1个球，若摸出的2个球都 是红球则中奖，否则不中奖. （1）用球的标号列出所有可能的摸出结果； 解：所有可能的摸出结果是（ A1， a1），（ A1， a2），（ A1， b1），（ A1， b2），（ A2， a1），（ A2， a2），（ A2， b1）， （ A2， b2），（ B ， a1），（ B ， a2），（ B ， b1），（ B ， b2）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的 概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由. 解：不正确，理由如下： 由（1）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都 是红球的结果有（ A1， a1），（ A1， a2），（ A2， a1）， （ A2， a2），共4种，所以中奖的概率为 ＝ ，不中奖的概率 为1－ ＝ ，故不中奖的概率比较大. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 下列试验中，是古典概型的为（　　） A. 三月份某一天是否下雨 B. 从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测 量其直径 d C. 抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D. 春天移植的树苗能否成活 解析：　古典概型有两个条件：有限性、等可能性.故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　） A. C. 　 D. 解析：　样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲 乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2 个，所以甲站在中间的概率 P ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2 件，恰有一件次品的概率为（　　） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 1 解析：　记3件合格品分别为 A1， A2， A3，2件次品分别为 B1， B2，从5件产品中任取2件，有（ A1， A2），（ A1， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A2， A3），（ A2， B1），（ A2， B2）， （ A3， B1），（ A3， B2），（ B1， B2），共10种可能，其中恰有 一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为 ＝0.6. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （2024·洛阳月考）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，则 其和为5的概率是 ⁠. 解析：两数之和等于5有两种情况（1，4）和（2，3），总的样本 点有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3）， （2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种， 所以 P ＝ ＝0.2. 0.2　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $