第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第二章　函　数 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.2　简单幂函数的图象和性质 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 第1课时　必要条件与性质定理、充分条件与判定定理 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学1 幂函数的概念 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 自变量 常数 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学2 幂函数的图象与性质 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) [0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增 (1,1) 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.了解幂函数的概念．(难点) 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1， y＝的图象，了解他们的变化情况．(重点) 3．掌握五种幂函数的性质并会应用．(重点) 1.通过幂函数概念的学习，体现数学抽象等核心素养． 2．借助幂函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻辑推理等核心素养. 　y＝2x2 和y＝x2＋x是不是幂函数？ [提示]　不是． 　幂函数的解析式有什么特征？ [提示]　 (1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项． ◎结论形成 形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是________、指数是_____的函数称为幂函数． 观察下面函数图象，思考如下问题： 　在第一象限，图象有何特点？ [提示]　都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大． 　这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ 　为什么幂函数在第四象限内不存在图象？ [提示]　当x＞0时，y＝xα＞0，不可能出现y＜0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象． ◎结论形成 幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象与性质． y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 定义域 R R R _________ ___________ _________ 值域 R __________ R _________ __________ __________ 奇偶性 ________ ________ ________ ________ ________ ________ 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 _____________ _____________ _____________ _____________ 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 公共点 _____________ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现．(　　) (2)当α＜0时，幂函数在R上是减函数．(　　) (3)当α＝0时，幂函数的图象是一条直线．(　　) (4)幂函数不一定具有奇偶性．(　　) 解析　(1)错误． (2)当α＝－1时，函数y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，在R上不是减函数． (3)函数y＝x0的定义域为{x|x≠0}，图象不是直线． (4)正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝2x2 解析　根据幂函数的定义知，y＝x2是幂函数，y＝－x2不是幂函数，y＝2x是指数函数，不是幂函数，y＝2x2不是幂函数． 答案　A 3．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,9)))，则α＝(　　) A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2) 解析　幂函数f(x)＝xα的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,9)))， 则3α＝eq \f(1,9)，解得α＝－2. 答案　A 4．函数y＝的图象大致是图中的(　　) 解析　∵函数y＝是奇函数，且α＝eq \f(5,3)＞1， ∴函数图象为B. 答案　B 题型一　幂函数的概念 eq \a\vs4\al(自练悟通) 1．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))，则式子4α的值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,4) 解析　因为幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))α＝eq \f(1,2)，解得α＝eq \f(1,2)，故4α＝2. 答案　B 2．函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为_______． 解析　根据幂函数的定义得m2－m－1＝1. 解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3. 答案　f(x)＝x3 3．已知函数f(x)＝(3－m)x2m－5是幂函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝_______. 解析　函数f(x)＝(3－m)x2m－5是幂函数， 则3－m＝1，解得m＝2，所以f(x)＝x－1， 所以f(x)＝eq \f(1,x)，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(1,\f(1,2))＝2. 答案　2 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．　 题型二　幂函数的图象和性质 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1,0,2,3 }，则 A∩B＝(　　) A．{－1,0} B．{2,3} C．{－3，－1,0} D．{－1,0,2} (2)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间． [解析]　(1)由幂函数y＝x3在R上是增函数，所以A＝{x|－5<x3<5}＝{x|－eq \r(3,5)<x<eq \r(3,5)}，B＝{－3，－1,0,2,3}，所以A∩B＝{－1,0}，故选A. (2)因为f(x)＝xα的图象过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq \f(1,4)， 即2α＝eq \f(1,4)，得α＝－2， 即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调递减区间为(0，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)． [答案]　(1)A　(2)略 [母题变式] (变结论)本例(2)条件不变，试判断f(x)的奇偶性． 解析　因为f(x)＝x－2，则f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．　 [触类旁通] 1．(1)如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　) A．n<m<0 B．m<n<0 C．n>m>0 D．m>n>0 (2)当α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，2，3))时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第_______象限． 解析　(1)由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n<m. (2)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝xeq \f(1,2)的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限． 所以幂函数y＝xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的图象不可能经过第四象限． 答案　(1)A　(2)四 题型三　幂的大小比较 　(1)(多选)(2025·浙江杭州第四中学月考)已知n∈{－2，－1,1,3}，幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(－3)>f(2) B．f(－3)<f(2) C．若|a|>|b|>0，则f(a)>f(b) D．若|a|>|b|>0，则f(a)<f(b) (2)比较下列各组数中两个数的大小． ①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5； ②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1. [解析]　(1)因为幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数，则n＝－2，即f(x)＝x－2，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(－3)＝f(3)<f(2)，故B正确，A错误； 因为|a|>|b|>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且函数f(x)为偶函数，所以f(a)＝f(|a|)<f(|b|)＝f(b)，故D正确，C错误． (2)①∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又eq \f(2,5)＞eq \f(1,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5. ②∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－eq \f(2,3)＜－eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1. [素养聚焦]　通过幂的大小比较，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 若指数相同，底数不同，则考虑利用幂函数的单调性比较大小．　 [触类旁通] 2．比较下列各组数中两个数的大小． (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0.5与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0.5； (2)－3.143与－π3. 解析　(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且eq \f(2,3)＞eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0.5＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0.5. (2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3. 知识落实 技法强化 1.幂函数的定义． 2．幂函数的图象与性质. 1.单调性：在第一象限，幂函数的单调性由α的正负决定．在其他象限，由具体函数而定． 2．凹凸性：曲线在第一象限，当α>1时，曲线下凸；当0<α<1时，曲线上凸；当α<0时，曲线下凸．在其他象限，由具体函数而定. $$