第2章 2.2 第2课时分段函数(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该高中数学课件聚焦分段函数，系统涵盖定义、表示法、定义域值域、求值及图象应用等核心内容。通过问题“函数y={-x,x<0;x,x≥0}是两个函数吗？”导入，课前案“教材梳理”从问题到结论形成定义，“基础自测”巩固概念，为课堂学习搭建支架，衔接函数表示法前期知识。 其亮点在于以核心素养为导向，题型二“一题多变”将“f(a)=10”改为“f(a)=1/2a”，培养逻辑推理（数学思维）；题型三用min函数结合图象与解析法，发展直观想象（数学眼光）；易错辨析中动点面积问题，强化数学语言表达现实世界。教学方法融合自主学习与数形结合，小结明确知识与技法，助力学生提升分类讨论能力，为教师提供系统教学资源和多样化例题参考。

第二章　函　数 §2　函　数 2.2　函数的表示法 第2课时　分段函数 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 分段函数 不同取值区间 对应方式 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 一个 定义域 并集 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 　函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0))是两个函数吗？ [提示]　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同． ◎结论形成 1．分段函数的定义 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的_______________，有不同的__________，则称其为分段函数． 2．学习分段函数应注意以下几点 (1)分段函数是_____函数，而不是几个函数． (2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏． (3)分段函数的________是各段定义域的_____，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)分段函数有多个定义域．(　　) (3)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x＞0))是分段函数．(　　) (4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x＞1，))则f(f(3))＝(　　) A.eq \f(1,5)　　 B．3　　　 C.eq \f(2,3)　　 D．eq \f(13,9) 解析　f(3)＝eq \f(2,3)，f(f(3))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＝eq \f(13,9). 答案　D 3．(多选)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0,\r(－x)，x<0，))若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 解析　因为f(－1)＝eq \r(－－1)＝1，所以f(a)＝1. (1)当a≥0时，f(a)＝eq \r(a)＝1，所以a＝1. (2)当a<0时，f(a)＝eq \r(－a)＝1，所以a＝－1. 综上可知a＝1或－1. 答案　CD 4．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos πx，x≤1，,fx－1＋1，x＞1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))的值为_______． 解析　f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－1))＋1＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋1＝coseq \f(π,3)＋1＝eq \f(3,2)， f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＝coseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝1. 答案　1 题型一　分段函数的定义域和值域 　(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1，))则函数的定义域为_______，值域为_______． (2)若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a<b，))则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是_______． [解析]　(1)由已知得，f(x)的定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又当x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]． (2)由题意得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x<1，,2－x，x≥1.))画函数f(x)的图象如图所示，得值域是(－∞，1]． [答案]　(1)R　[0,1]　(2)(－∞，1] 1．分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　 [触类旁通] 1．(1)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是(　　) A．R　　　　　　　 B．[0,2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0,3] (2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋1，0<x<1，,0，x＝0，,x2－1，－1<x<0))的定义域为_______，值域为_______． 解析　(1)当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知，f(x)的值域为[0,2]∪{3}． (2)由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1,1)．又当0<x<1时，0<－x2＋1<1，当－1<x<0时，－1<x2－1<0，当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)． 答案　(1)B　(2)(－1,1)　(－1,1) 题型二　分段函数求值 eq \a\vs4\al(一题多变) 　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,x2，－1＜x＜2，,2x，x≥2.)) (1)求f(－4)，f(3)，f(f(－2))； (2)若f(a)＝10，求a的值． [解析]　(1)f(－4)＝－4＋2＝－2， f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0， f(f(－2))＝f(0)＝02＝0. (2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；当－1＜a＜2时，a2＝10，可得a＝±eq \r(10)，不符合题意；当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意；综上可知，a＝5. [母题变式] 1．(变条件)将本例(2)中的“10”改为“eq \f(1,2)”，求a的值． 解析　当a≤－1时，a＋2＝eq \f(1,2)，可得a＝－eq \f(3,2)，符合题意； 当－1＜a＜2时，a2＝eq \f(1,2)，可得a＝±eq \f(\r(2),2)，符合题意； 当a≥2时，2a＝eq \f(1,2)，可得a＝eq \f(1,4)，不符合题意； 综上可知，a＝－eq \f(3,2)或a＝±eq \f(\r(2),2). 2．(变结论)在本例条件下，求f(x＋1)． 解析　当x＋1≤－1，即x≤－2时， f(x＋1)＝x＋1＋2＝x＋3； 当－1＜x＋1＜2， 即－2＜x＜1时，f(x＋1)＝(x＋1)2； 当x＋1≥2，即x≥1时，f(x＋1)＝2(x＋1)＝2x＋2. 综上可知，f(x＋1)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤－2，,x＋12，－2＜x＜1，,2x＋2，x≥1.)) 已知函数值，求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值分类讨论． (2)然后代入不同的解析式． (3)通过解方程求出字母的取值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．　 [触类旁通] 2．(1)(2024·山西晋中期末)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2a，x≥1，,fx＋2，x<1，))若f(－3)＝5，则a＝_______. (2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x＋3，x≥0，))若f(f(a))＝4，则实数a的值为_______． 解析　(1)由题意得f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2a＋1＝5， 解得a＝2. (2)设t＝f(a)，则f(t)＝4， 若t<0，则t2＝4，即t＝－2； 若t≥0，则t＋3＝4，即t＝1， 故f(a)＝－2或f(a)＝1. 因为f(x)>0恒成立，故f(a)＝－2无解， 当a<0时，a2＝1，即a＝－1， 当a≥0时，a＋3＝1，即a＝－2(舍)． 综上a＝－1. 答案　(1)2　(2)－1 题型三　分段函数的图象及应用 　(教材例4拓展)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的最小者)． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； (2)求函数φ(x)的定义域和值域． [解析]　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 φ(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2，x≤－2，,x，－2<x<1，,－x2＋2，x≥1.)) (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， ∴φ(x)的值域为(－∞，1]． eq \a\vs4\al([素养聚焦]　直观想象，逻辑推理等核心素养体现在本题求解过程中.) 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．　 [触类旁通] 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0＜x≤4，,－x＋2，x＞4.)) (1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数f(x)的图象，观察图象写出此函数的值域． [解析]　(1)因为5＞4，所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3＜0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0＜1＜4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f(f(f(5)))＝－1. (2)图象如下图所示． 观察图象可知此函数的值域为(－∞，8]． [缜密思维提能区] 易错辨析 分类讨论思想在分段函数中的应用 [典例]　如右图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.试求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)画出y＝f(x)的图象． [解析]　(1)当点P在线段BC上运动时， S△APB＝eq \f(1,2)×4x＝2x (0≤x≤4)． 当点P在线段CD上运动时， S△APB＝eq \f(1,2)×4×4＝8(4＜x≤8)． 当点P在线段AD上运动时， S△APB＝eq \f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x(8＜x≤12)． 所以y与x之间的函数关系式为 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤4，,8，4＜x≤8，,24－2x，8＜x≤12.)) (2)画出y＝f(x)的图象，如下图所示． [纠错心得]　解决这类问题的关键是根据自变量的取值情况决定其对应的运算关系，即保持自变量的取值范围与对应关系的一致性，一般需要分类讨论求解． 知识落实 技法强化 1.分段函数的定义域和值域． 2．分段函数的求值问题． 3．分段函数的图象及应用. 1.本课时应用的数学思想方法有分类讨论、数形结合． 2．解决分段函数问题时应注意确定是否包含端点. $$