第2章 2.2 第1课时函数的表示法(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第二章　函　数 §2　函　数 2.2　函数的表示法 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 第1课时　函数的表示法 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 函数的三种表示法 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 表格的形式 图象 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 解析表达式 (简称解析式) 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第二章　函　数 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握函数的三种表示方法．(重点) 2．会求函数的解析式．(难点) 1.借助函数表示的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过作函数的图象，提升直观想象逻辑推理等核心素养. 　函数的三种表示方法各有什么优点？ [提示]　(1)解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． (2)图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质． (3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值． 　任何一个函数都可以用解析法表示吗？ [提示]　不是．如某地区一天中每时每刻的温度，由于受自然因素影响较大，无法借助函数解析式来具体描述． ◎结论形成 函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 用_____________表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值　 仅能表示自变量取有限个值的函数　 图象法 用_____把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法 能形象直观地表示函数的变化情况　 只能近似求出自变量所对应的函数值，有时误差较大 解析法 一个函数的对应关系可以用自变量的_____________ _____________表示出来，这种方法称为解析法 一是简明、全面概括了变量间的关系；二是利用解析式可求任一函数值 不够形象，直观，不是所有函数都有解析式 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) (3)函数的图象可以是一群孤立的点．(　　) (4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 解析　(1)有些函数是不能画出图象的，如f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,－1，x∈∁RQ.)) (2)并不是所有的函数都可以用解析式表示． (3)如y＝x，x∈N其图象是一群孤立的点． (4)有些函数的图象不是一条连续不断的曲线，如f(x)＝eq \f(1,x)的图象就不是连续的曲线． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．根据下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))＝(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1　　　 B．2　　　　 C．4　　　 D．5 解析　由表知f(1)＝4，f(f(1))＝f(4)＝2. 答案　B 3．已知函数f(x＋1)＝2x＋1，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝2x－1 C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x 解析　因为f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1，所以f(x)＝2x－1. 答案　B 4．若函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的定义域为_______，值域为_______． 解析　由f(x)的图象可知，－5≤x≤5， －2≤y≤3. 答案　[－5,5]　[－2,3] 题型一　函数的表示法 　下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 测试序号 成绩 姓名 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 (1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系； (2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析． [解析]　(1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下： (2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高． 用三种表示法表示函数的注意点 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种表示法表示函数时要注意： (1)解析法：必须注明函数的定义域． (2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． (3)图象法：是否连线．　 [触类旁通] 1．某商场新进了10台平板电脑，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解析　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3000 6000 9000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}． 题型二　函数的图象及应用 　(教材例3迁移)(1)(2025·徐州高一检测)函数y＝－eq \f(x2,|x|)的图象的大致形状是(　　) (2)作出下列函数的图象，并求其值域． ①y＝1－x(x∈Z)； ②y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)． [解析]　(1)当x>0时，y＝－x，当x<0时y＝x.故选C. (2)①因为x∈Z，所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①)，由图象知，y∈Z. ②因为x∈[0,3)，所以函数图象是抛物线的一段(如图②)，由图象知，y∈[－5,3)． eq \a\vs4\al([素养聚焦]　通过作函数图象，把直观想象等核心素养体现在解题过程中.) 1．描点法作函数图象的“三步曲” 一列二描三连线：(1)取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表；(2)在平面直角坐标系中描出表中相应的点；(3)用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象． 2．作函数图象的注意事项 (1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点．例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．　 [触类旁通] 2．作出下列函数的图象，并写出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)． 解析　(1)当x＝0时，y＝1； 当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5. 函数图象过点(0,1)，(1,3)，(2,5)． 图象如下图所示． 由图可知，函数的值域为[1,5]． (2)当x＝2时，y＝1；当x＝4时，y＝eq \f(1,2)； 当x＝6时，y＝eq \f(1,3).图象如下图所示． 由图可知，函数的值域为(0,1]． 题型三　求函数的解析式 　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)的解析式． [解析]　(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝4.)) 解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2. ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)解法一(配凑法) ∵f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x)＋1)2－1(eq \r(x)＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二(换元法) 令eq \r(x)＋1＝t(t≥1)， 则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2eq \r(t－12)＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．　 [触类旁通] 3．(1)已知f(x)为二次函数，且f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，则f(x)＝_______. (2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)，求则f(x)＝_______. 解析　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c， f(2x－1)＝a(2x－1)2＋b(2x－1)＋c， f(2x＋1)＋f(2x－1)＝8ax2＋4bx＋2a＋2c＝16x2－4x＋6， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8a＝16，,4b＝－4，,2a＋2c＝6，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，,c＝1，)) 所以f(x)＝2x2－x＋1. (2)令eq \f(1,x)＝t，则x＝eq \f(1,t)，且t≠0，∴f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\f(1,t2))＝eq \f(\f(1,t),\f(t2－1,t2))＝eq \f(t,t2－1)，∴f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0) 答案　(1)2x2－x＋1　(2)eq \f(x,x2－1)(x≠0) 知识落实 技法强化 1.函数的三种表示法． 2．函数解析式的求法． 3．函数图象的画法和应用. 1.求函数解析式的方法有配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法． 2．求函数解析式时不要漏掉定义域. $$