4.3.3 对数函数y＝logax的图象和性质(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

3．3　对数函数y＝logax的图象和性质 学业标准 素养目标 1.掌握对数函数的图象和性质．(重点) 2．利用对数函数的图象和性质解决大小比较、解不等式、最值等问题．(难点) 1.通过对数函数图象的应用，提升直观想象等核心素养． 2．通过对数函数性质的应用，提升数学运算等核心素养. 导学 对数函数的图象和性质 　在同一坐标系中，函数y＝log2x与y＝logx的图象如下图所示．你能描述一下这两个函数的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗？ [提示]　 函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 y＝log2x {x|x＞0} R 增函数 非奇非偶 y＝x {x|x＞0} R 减函数 非奇非偶 　在同一坐标系中，对数函数y＝log2x，y＝log5x，的图象如下图所示．从图中看，对数函数图象的分布与底数有什么关系？ [提示]　在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴． ◎结论形成 对数函数的图象和性质 图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在区间(0，＋∞)上是增函数 在区间(0，＋∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋向于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的图象都过定点(0,1)．(　　) (2)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　) (3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<.(　　) (4)ln x<1的解集是(－∞，e)．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．函数y＝x在区间[1,2]上的值域是(　　) A．[－1,0]　　　　　 B．[0,1] C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析　∵y＝x在[1,2]上是减函数， ∴－1≤x≤0，即值域为[－1,0]，故选A. 答案　A 3．设a＝30.7，b＝－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析　利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a，b，c的大小关系． 因为a＝30.7＞1，b＝－0.8＝30.8＞30.7＝a， c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1， 所以c＜1＜a＜b. 答案　D 4．函数y＝ (1－2x)的单调递增区间是______． 解析　函数的定义域为. 设t＝1－2x，则t在是减函数，而y＝t是减函数，故原函数的单调递增区间为. 答案　 题型一　比较大小问题 　(教材例7拓展)(1)下列大小关系正确的是(　　) A．0.43＜30.4＜log4 0.3 B．0.43＜log4 0.3＜30.4 C．log40.3＜0.43＜30.4 D．log40.3＜30.4＜0.43 (2)比较下列各组中两个值的大小． ①log31.99，log32； ②log30.2，log40.2； ③log23，log0.32； ④logaπ，loga3.14(a＞0且a≠1)． [解析]　(1)因为0＜0.43＜1,30.4＞1， 而log40.3＜0，故选C. (2)①(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.99＜2，则f(1.99)＜f(2)，所以log31.99＜log32. ②解法一　因为0＞log0.2 3＞log0.2 4， 所以＜，即log3 0.2＜log4 0.2. 解法二　作出y＝log3x和y＝log4x的图象如下图． 由图象知log40.2＞log30.2. ③(中间量法)因为log23＞log21＝0， log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32. ④(分类讨论法)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数，则有logaπ＜loga3.14. 综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14. [答案]　(1)C　(2)略 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底的利用对数函数的单调性． (2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 提醒：利用对数函数的图象比较大小对客观题更快．　 [触类旁通] 1．(1)设a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c＜b＜a　　　　　 B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c (2)设a＝log2e，b＝ln(3e)，c＝e－2(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c 解析　(1)因为a＝log52＝log5＝log54＜， b＝log83＝log8＝log89＞， 所以a＜c＜b.故选C. (2)因为log22<log2e<log24， 所以1＜log2e＜2， b＝ln(3e)＝ln 3＋ln e>2，c＝e－2<e0＝1， 所以a，b，c的大小关系为b>a>c.故选D. 答案　(1)C　(2)D 题型二　与对数函数有关的值域问题 　(教材例6迁移)(1)已知函数f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，则函数f(x)的值域是________． (2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________． (3)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域． [解析]　(1)∵1≤x≤9， ∴log31≤log3x≤log39，即0≤log3x≤2， 即2≤f(x)≤4，值域为[2,4]． (2)当a>1时，函数f(x)为增函数， f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝，与a>1矛盾； 当0<a<1时，函数f(x)为减函数， f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2， 故a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1， 解得a＝. (3)因为－x2－4x＋12>0， 又因为－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16， 所以0<－x2－4x＋12≤16， 故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4， 函数的值域为(－∞，4]． [答案]　(1)[2,4]　(2)　(3)略 [母题变式] (变结论)将本例(1)中的结论变为求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域，其他条件不变，如何求？ 解析　y＝[f(x)]2＋f(x2) ＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2 ＝(log3x)2＋6log3x＋6 ＝(log3x＋3)2－3. ∵f(x)的定义域为[1,9]， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足 ∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13. ∴值域为[6,13]． 求函数值域的常用方法 (1)单调性法 根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域． (2)换元法 求形如y＝logaf(x)函数值域的步骤：①换元，令u＝f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象求出y的取值范围．　 [触类旁通] 2．(2025·佛山高一联考)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值是________． 解析　因为函数f(x)在[0,1]上单调， 所以只需将端点值代入． 依题意得f(0)＝loga1＝0，f(1)＝loga2. 因为函数的值域为[0,1]， 故必有loga2＝1⇒a＝2. 答案　2 题型三　对数函数的综合应用 角度1　对数函数的实际应用 　(教材例8拓展)科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关．在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强度的等级，它与声音的强度I满足关系式：L＝a·lg (a是常数)，其中I0＝1×10－12瓦/平方米．如风吹落叶沙沙声的强度I＝1×10－11瓦/平方米，它的强弱等级L＝10分贝． (1)已知生活中几种声音的强度如下表，求a和m的值； 　　　　声音来源 声音大小　　　　 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路 强度I/(瓦/平方米) 1×10－11 1×10－10 1×10－3 强弱等级L/分贝 10 m 90 (2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值． [解析]　(1)将I0＝1×10－12，I＝1×10－11代入L＝a·lg， 得10＝a·lg＝a·lg 10＝a， 即a＝10， m＝10·lg＝10·lg 100＝20. (2)由题意得L≤50，得10lg≤50， 得lg≤5，即≤105， 即I≤105×10－12＝10－7， 故此时声音强度I的最大值为10－7瓦/平方米． 对数函数的实际应用 首先确定含对数的函数解析式，再利用对数函数的性质解决范围、最值、变化趋势等实际问题，但要注意定义域的实际意义．　 角度2　对数函数性质的综合应用 　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) (2)已知函数f(x)＝log2(2－x－1)． ①求f(x)的定义域； ②若f(x)<0，求x的取值范围； ③求函数f(x)的单调区间． [解析]　(1)因为函数f(x)在R上单调递增， 且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a， 所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0； 当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增． 若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1， 即a≥－1. 综上，实数a的取值范围是[－1,0]．故选B. (2)①由2－x－1>0，得2－x>1，x<0. 故函数f(x)的定义域为(－∞，0)． ②f(x)<0，即log2(2－x－1)<0,2－x－1<1， x>－1. 又因为函数定义域为(－∞，0)， 所以x的取值范围为(－1,0)． ③设t＝2－x－1，是减函数，又y＝log2t是增函数且原函数的定义域为(－∞，0)， 故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)． [答案]　(1)B　(2)略 [素养聚焦]　解决对数函数的综合问题涉及运用数形结合思想求解，数学运算、直观想象等核心素养体现在解题过程中. 解决对数函数综合问题的方法 对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算，解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．　 [触类旁通] 3．(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 (2)函数f(x)＝ (1－x2)的单调区间为_________________． 解析　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)， ∴(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3， ∴a＝0，经检验符合题意，故选B. (2)设u＝1－x2，由1－x2>0得－1<x<1， ∴定义域为(－1,1)． 当x∈(0,1)时，u＝1－x2是减函数；而y＝u为减函数， ∴y＝(1－x2)为增函数． 当x∈(－1,0)时，u＝1－x2为增函数， y＝u为减函数， ∴y＝(1－x2)为减函数． ∴y＝(1－x2)的增区间为(0,1)，减区间为(－1，0)． 答案　(1)B (2)增区间为(0,1)，减区间为(－1,0) [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 对数函数的最值问题 [典例]　已知函数y＝logax(a>0且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________． [解析]　①当a>1时，函数y＝logax在区间[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1， 即loga＝1，所以a＝2. ②当0<a<1时，函数y＝logax在区间[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.由①②，知a＝2或a＝. [答案]　2或 [纠错心得]　在解决底数中包含字母参数的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般分a>1与0<a<1两种情况． 知识落实 技法强化 1.对数函数的图象与性质、比较对数值的大小． 2．探究形如函数y＝logaf(x)，y＝f(logax)的性质(定义域、值域、单调性等). 1.研究形如函数y＝logaf(x)的性质时注意换元法的运用，设t＝f(x)． 2．解不等式logaf(x)>logag(x)时，不仅要注意底数与1的大小，而且还要注意f(x)>0，g(x)>0. 学科网（北京）股份有限公司 $$