第1章 4.3 一元二次不等式的应用(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的应用，涵盖分式不等式解法、恒成立问题及实际应用。通过复习一元二次函数知识导入，以互动探究题型为支架，衔接预备知识与应用场景，帮助学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于融入逻辑推理、数学运算与数学建模核心素养，如恒成立问题一题多解（分类讨论、分离参数）培养推理能力，蓄水池供水实例强化建模意识。采用错解分析与规律方法总结，学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

第一章　预备知识 §4　一元二次函数与一元二次不等式 4.3　一元二次不等式的应用 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 01 CONTENTS 02 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 01 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 02 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.了解简单的分式不等式的解法．(重点) 2．理解并掌握不等式恒成立问题．(难点) 3．会用一元二次不等式解决一些简单的实际问题．(重点) 1.通过不等式中的恒成立问题，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．借助一元二次不等式的实际应用，培养数学建模等核心素养. 题型一　解简单的分式不等式 　(1)不等式eq \f(2－x,x＋4)＞0的解集是_______． (2)已知关于x的不等式eq \f(ax－1,x＋1)＞0的解集是(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，则a＝_______. (3)解不等式eq \f(x＋1,x－2)≤2. [解析]　(1)因为eq \f(2－x,x＋4)＞0， 所以(x－2)(x＋4)＜0，故－4＜x＜2. (2)eq \f(ax－1,x＋1)＞0等价于(ax－1)(x＋1)＞0， 由题意得a＞0，且－1和eq \f(1,2)是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两个根， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))＝0，所以a＝2. (3)移项得eq \f(x＋1,x－2)－2≤0， 左边通分并化简得eq \f(－x＋5,x－2)≤0，即eq \f(x－5,x－2)≥0， 可转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2x－5≥0，,x－2≠0，)) 所以x＜2或x≥5， 所以原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}． [答案]　(1){x|－4＜x＜2}　(2)2　(3)略 解分式不等式的策略 (1)对于形如eq \f(fx,gx)>0(<0)的不等式可等价转化为f(x)g(x)>0(<0)来解决；对于形如eq \f(fx,gx)≥0(≤0)的不等式可等价转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx·gx≥0≤0，,gx≠0))来解决．　 2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分不要去分母，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. [触类旁通] 1．已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式eq \f(ax－b,x－2)＞0的解集是(　　) A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 解析　依题意，a＞0且－eq \f(b,a)＝1.eq \f(ax－b,x－2)＞0⇔(ax－b)(x－2)＞0⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,a)))(x－2)＞0，即(x＋1)(x－2)＞0⇒x＞2或x＜－1. 答案　A 题型二　不等式中的恒成立问题 eq \a\vs4\al(一题多解) 　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1,3]，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解析]　(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0. 若m≠0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，))⇒－4＜m＜0. ∴－4＜m≤0， 即m的取值范围是(－4,0]． (2)解法一　要使y＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，就要使meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 令y0＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]． 当m＞0时，y0是增函数， ∴y0max＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6＝7m－6＜0， ∴0＜m＜eq \f(6,7)； 当m＝0时，－6＜0恒成立； 当m＜0时，y0是减函数， ∴y0max＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6＝m－6＜0， 得m＜6.∴m＜0. 综上所述，m＜eq \f(6,7)，即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))). 解法二　当x∈[1,3]时，y＜－m＋5恒成立， 即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立． ∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0， 又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜eq \f(6,x2－x＋1). ∵函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq \f(6,7)，∴只需m＜eq \f(6,7)即可． ∴m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))). 一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法 (1)在R上恒成立问题． ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0；Δ<0；)) ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0；Δ≤0.)) (2)在给定区间上的恒成立问题． ①a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.　 [触类旁通] 2．(1)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是(　　) A．(0,4)　　　　　　 B．[0,4) C．(0，＋∞) D．(－∞，4) (2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1<0成立，则实数m的取值范围是_______． 解析　(1)依题意，当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a<0，))解得0<a<4， 当a＝0时也符合题意，故0≤a<4. 故选B. (2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1<0， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋m2－1<0，,m＋12＋mm＋1－1<0，)) 解得－eq \f(\r(2),2)<m<0. 答案　(1)B　(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0)) 题型三　一元二次不等式的实际应用 　某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120eq \r(6t) 吨(0≤t≤24)． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？ [解析]　(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y＝400＋60t－120eq \r(6t)(0≤t≤24)． 令x＝eq \r(6t)，则t＝eq \f(x2,6)， 所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)， 所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40， 即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)由已知400＋10x2－120x＜80， 得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8， 即4＜eq \r(6t)＜8，eq \f(8,3)＜t＜eq \f(32,3)，而eq \f(32,3)－eq \f(8,3)＝8， 所以每天约有8小时供水紧张． [素养聚焦]　通过一元二次不等式的实际应用，把数学建模等核心素养体现在解题过程中. 一元二次不等式实际应用问题的关注点 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．　 [触类旁通] 3．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 解析　设税率调低后“税收总收入”为y元． y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)% ＝－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)(0<x≤8)． 依题意，得y≥2400m×8%×78%， 即－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%， 整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 根据x的实际意义，知0＜x≤8，所以0<x≤2，即x的范围为(0,2]． [缜密思维提能区] 易错辨析 忽视二次项系数为零的情况致误 [典例]　关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围． [错解]　原不等式可化为mx2＋mx＋(m－1)＜0，依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2－4mm－1＜0)) ⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,3m2－4m＞0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,m＜0或m＞\f(4,3)))⇔m＜0， 故m的取值范围为m＜0. [正解]　原不等式可化为mx2＋mx＋(m－1)＜0， 若m＝0，则不等式化为－1＜0，符合题意； 若m≠0，则应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2－4mm－1＜0)) ⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,3m2－4m＞0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,m＜0或m＞\f(4,3)))⇔m＜0. 综上，m的取值范围为(－∞，0]． [纠错心得]　不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.)) 知识落实 技法强化 1.简单的分式不等式的解法．　 2．不等式恒成立问题. 1.不等式恒成立问题，根据题目的特点选取相适应的方法(分离参数法或借助于二次函数)． 2．注意解分式不等式时充分利用转化与化归思想. $$