2.4.2 简单幂函数的图象和性质(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

4.2　简单幂函数的图象和性质

　y＝2x2 和y＝x2＋x是不是幂函数？

[提示]　不是．

　幂函数的解析式有什么特征？

[提示]　 (1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项．

◎结论形成

形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．

　观察下面函数图象，思考如下问题：

　在第一象限，图象有何特点？

[提示]　都过点(1,1)；只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．

　这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？

[提示]　 y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝是非奇非偶函数．

　为什么幂函数在第四象限内不存在图象？

[提示]　当x＞0时，y＝xα＞0，不可能出现y＜0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．

◎结论形成

幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象与性质．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现．(　　)

(2)当α＜0时，幂函数在R上是减函数．(　　)

(3)当α＝0时，幂函数的图象是一条直线．(　　)

(4)幂函数不一定具有奇偶性．(　　)

解析　(1)错误．

(2)当α＝－1时，函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，在R上不是减函数．

(3)函数y＝x0的定义域为{x|x≠0}，图象不是直线．

(4)正确．

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．下列函数为幂函数的是(　　)

A．y＝x2　　　　　　 B．y＝－x2

C．y＝2x  D．y＝2x2

解析　根据幂函数的定义知，y＝x2是幂函数，y＝－x2不是幂函数，y＝2x是指数函数，不是幂函数，y＝2x2不是幂函数．

答案　A

3．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则α＝(　　)

A．－2  B．2

C．－  D．

解析　幂函数f(x)＝xα的图象经过点，

则3α＝，解得α＝－2.

答案　A

4．函数y＝的图象大致是图中的(　　)

解析　∵函数y＝是奇函数，且α＝＞1，

∴函数图象为B.

答案　B

题型一　幂函数的概念 

1．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则式子4α的值为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C.  D．

解析　因为幂函数f(x)＝xα的图象过点，所以α＝，解得α＝，故4α＝2.

答案　B

2．函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，