2.3 第2课时 函数的最值(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第2课时　函数的最值

　如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象．观察并描述这三个图象的共同特征．

[提示]　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．

　你是怎样理解函数图象最高点的？

[提示]　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．

◎结论形成

函数的最值

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任何函数都有最大(小)值．(　　)

(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．(　　)

(3)函数的最大值一定比最小值大．(　　)

(4)若函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，则函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A．－1,0　　　　　 B．0,2

C．－1,2  D．，2

解析　由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.

答案　C

3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)(　　)

A．有最大值

B．有最小值

C．既有最大值又有最小值

D．既无最大值又无最小值

解析　∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，

∴f(x)＜f(0)＝－1，故选D.

答案　D

4．函数f(x)＝，x∈[1,2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

解析　∵f(x)＝在区间[1,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即≤f(x)≤1.

答案　1　

题型一　图象法求函数的最值 

1．(教材例2拓展)函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)

A．－2，f(2)　　　　　　 B．2，f(2)

C．－2，f(5)  D．2，f(5)

解析　由函数的图象知，当x＝－2时，f(x)有最小值－2；当x＝5时，f(x)有最大值f(5)．

答案　C

2．已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．

解析　作出函数f(x)的图象(如图)．

由图象可知，当x＝±1时，

f(x)取最大值为

f(1)＝f(－1)＝1.

当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，

故f(x)的最大值为1，最小值为0.

图象法求函数最值的一般步骤

　

题型二　利用单调性求函数的最值 

　求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．

[解析]　任取2≤x1＜x2≤5，

则f(x2)－f(x1)＝－

＝.

因为2≤x1＜x2≤5，

所以x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0，

所以f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x2)＜f(x1)，

所以f(x)＝在区间[2,5]上单调递减，

所以f(x)max＝f(2)＝＝2，