第1章 3.2 第2课时基本不等式的应用(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第一章　预备知识 §3　不等式 3．2　基本不等式 第2课时　基本不等式的应用 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 基本不等式求最值 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.会用基本不等式求简单函数的最值．(重点) 2．会用基本不等式解决实际问题．(难点) 1.借助基本不等式求最值，提升数学运算核心素养． 2．通过基本不等式的实际应用，培养数学建模核心素养. 　已知函数y＝x(1－x)(0＜x＜1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？ [提示]　最大值；能． ∵0＜x＜1，∴1－x＞0， 又∵eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，∴ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2， ∴x(1－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq \f(1,4)， 当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时，该函数有最大值eq \f(1,4). ◎结论形成 基本不等式与最值 已知x，y都是正数时，下列命题均成立． 和定积最大 若x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得__________ 积定和最小 若xy＝p(积为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得_____________ 最大值eq \f(s2,4) 最小值2eq \r(p) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个正数的和为定值，则它们的积有最大值．(　　) (2)x∈R，则x2＋2＋eq \f(1,x2＋2)≥2.(　　) (3)若x＞0，则函数f(x)＝x2＋eq \f(4,x)的最小值等于4eq \r(x). (　　) (4)若不等式a≥y(关于x的函数)恒成立，则a≥ymax.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a＞1，则a＋eq \f(1,a－1)的最小值是(　　) A．2　　　　 　　　　 B．a C.eq \f(2\r(a),a－1) D．3 解析　a＞1，∴a－1＞0， ∴a＋eq \f(1,a－1)＝a－1＋eq \f(1,a－1)＋1≥2 eq \r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3. 答案　D 3．已知a＋b＝1，a＞0，b＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为(　　) A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．5 解析　eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b) ＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4. 当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时“等号”成立． 答案　C 4．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为_______． 解析　1＝x＋4y≥2eq \r(4xy)＝4eq \r(xy)， ∴xy≤eq \f(1,16)，当且仅当x＝4y＝eq \f(1,2)时等号成立． 即x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,8). 答案　eq \f(1,16) 题型一　利用基本不等式求简单问题的最值 eq \a\vs4\al(题点多探 多维探究) 角度1　“不正”问题 　已知x＜0，则3x＋eq \f(12,x)的最大值为_____． 角度2　“不定”问题 　(1)已知x＞2，则x＋eq \f(1,x－2)的最小值为________． (2)已知0＜x＜eq \f(1,2)，则eq \f(1,2)x(1－2x)的最大值为________． [解析]　(1)因为x＞2， 所以x－2＞0， 所以x＋eq \f(1,x－2)＝x－2＋eq \f(1,x－2)＋2 ≥2eq \r(x－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－2))))＋2＝4， 所以当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x＞2)， 即x＝3时，x＋eq \f(1,x－2)的最小值为4. (2)因为0＜x＜eq \f(1,2)，所以1－2x＞0， 所以eq \f(1,2)x(1－2x)＝eq \f(1,4)×2x(1－2x)≤eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq \f(1,16)， 当且仅当2x＝1－2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))， 即x＝eq \f(1,4)时，eq \f(1,2)x(1－2x)的最大值为eq \f(1,16). [答案]　(1)4　(2)eq \f(1,16) [素养聚焦]　利用基本不等式求最值，把数学运算等核心素养体现在解题过程中. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答时易漏掉等号成立的条件． 2．利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 [触类旁通] 1．(1)若x>1，则函数y＝x＋eq \f(1,x)＋eq \f(16x,x2＋1)的最小值为_______． (2)已知x＜eq \f(5,4)，求函数y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值． 解析　(1)y＝x＋eq \f(1,x)＋eq \f(16x,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x)＋eq \f(16x,x2＋1)≥2eq \r(\f(x2＋1,x)·\f(16x,x2＋1))＝8， 当且仅当eq \f(x2＋1,x)＝eq \f(16x,x2＋1)， 即x＝2＋eq \r(3)时，等号成立． (2)∵x＜eq \f(5,4)，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝4x－5＋eq \f(1,4x－5)＋3 ＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时等号成立， ∴当x＝1时，ymax＝1. 答案　(1)8　(2)略 题型二　含有多个变量的条件求最值 eq \a\vs4\al(一题多解 一题多变) 　(1)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值； (2)已知正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3，求ab的取值范围． [解析]　(1)解法一　eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·1 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·(a＋2b)＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2 ＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2 eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时等号成立． ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2). 解法二　eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋2b,a)＋eq \f(a＋2b,b) ＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(2)， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时等号成立， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2). (2)由eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝3，得a＋b＝3ab. 因为a＋b≥2eq \r(ab)， 所以3ab≥2eq \r(ab)，即9(ab)2≥4ab. 因为a＞0，b＞0， 所以ab≥eq \f(4,9)，当且仅当a＝b＝eq \f(2,3)时，等号成立． 故ab的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，＋∞)). [母题变式] (变条件、变结论)本例(2)中，若将条件改为“正数a，b满足2a＋b＋6＝ab”，则ab的最小值为_________． 解析　由2a＋b＋6＝ab，可得2a＋b＝ab－6. 因为2a＋b≥2eq \r(2ab)， 所以ab－6≥2eq \r(2ab)，即ab－6≥2eq \r(2)·eq \r(ab)， 因此ab－2eq \r(2)·eq \r(ab)－6≥0， 解得eq \r(ab)≥3eq \r(2)或eq \r(ab)≤－eq \r(2)(舍去)，即ab≥18，当且仅当a＝3，b＝6时，等号成立． 故ab的最小值为18. 答案　18 [素养聚焦]　利用含有条件的基本不等式最值问题，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 1．常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题，应用此种方法求解最值的基本步骤为 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 2．含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．　 [触类旁通] 2．(1)(2024·广西部分学校开学考试)已知a>0，b>0，且a＋b＝ab，则2ab－a＋7b的最小值是(　　) A．6　　　 B．9　　　　 C．16　 　 D．19 (2)已知x＞0，y＞0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值． 解析　(1)因为a＋b＝ab且a>0，b>0， 所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1， 则2ab－a＋7b＝2(a＋b)－a＋7b ＝a＋9b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋9b) ＝eq \f(9b,a)＋eq \f(a,b)＋10≥2eq \r(\f(9b,a)·\f(a,b))＋10＝16， 当且仅当eq \f(9b,a)＝eq \f(a,b)，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1， 即a＝4，b＝eq \f(4,3)时等号成立． 因此，2ab－a＋7b的最小值是16. (2)∵eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝1＋eq \f(9x,y)＋eq \f(y,x)＋9 ＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10， 又∵x＞0，y＞0， ∴eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝16， 当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即y＝3x时，等号成立． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝3x，,\f(1,x)＋\f(9,y)＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝12，)) 即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 答案　(1)C　(2)略 题型三　基本不等式在实际问题中的应用 　(教材例5拓展)某市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1600)(v＞0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ [解析]　(1)由题意y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1600) ＝eq \f(920,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v＋\f(1600,v)))＋3)≤eq \f(920,2 \r(v·\f(1600,v))＋3)＝eq \f(920,83)， 当且仅当v＝eq \f(1600,v)，即v＝40时取等号． ∴ymax＝eq \f(920,83)≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：eq \f(920v,v2＋3v＋1600)＞10， 整理得v2－89v＋1600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64. ∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时． 基本不等式解决实际问题的思路方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案．　 [触类旁通] 3．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d＝eq \f(m,k)，其中d是距离(单位：cm)，m是质量(单位：g)，k是弹簧系数(单位：g/cm)．当弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k3满足eq \f(1,k3)＝eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)，并联时得到的弹簧系数k4满足k4＝k1＋k2.已知某物体质量为20 g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1 cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为(　　) A.eq \f(1,4) cm B．eq \f(1,2) cm C．1 cm D．2 cm 解析　当两个弹簧并联时，k4＝k1＋k2， 拉伸距离d＝eq \f(m,k4)＝eq \f(m,k1＋k2)， 要使d最大，则需k4＝k1＋k2最小． 依题意得k3＝eq \f(20,1)＝20， 即eq \f(1,20)＝eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)＝eq \f(k1＋k2,k1k2)，即20(k1＋k2)＝k1k2. 又k1k2≤eq \f(k1＋k22,4)，故k1＋k2≥80， 当且仅当k1＝k2＝40时等号成立，则k4的最小值为80，此时d最大，为eq \f(20,80)＝eq \f(1,4)(cm)．故选A. 答案　A [缜密思维提能区] 易错辨析 均值不等式的实际应用 [典例]　(13分)某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如下图所示的一个总面积为3000平方米的矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米． (1)分别用x表示y和S的关系式，并给出x的取值范围； (2)怎样设计能使S取得最大值？并求出最大值． [审题指导]　(1)结合图形用x表示y及S，注意x的实际意义并求其范围． (2)利用均值不等式求最值，注意等号成立的条件． [规范解答]　(1)由已知xy＝3000， 所以y＝eq \f(3000,x)， 其中x∈(6,500)．(2分) S＝(x－4)a＋(x－6)a ＝(2x－10)a， 因为2a＋6＝y， 所以a＝eq \f(y,2)－3＝eq \f(1500,x)－3，(4分) 所以S＝(2x－10)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1500,x)－3)) ＝3030－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15 000,x)＋6x))， 其中x的取值范围是(6,500)．(6分) (2)S＝3030－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15 000,x)＋6x)) ≤3030－2 eq \r(6x·\f(15 000,x)) ＝3030－2×300＝2430，(9分) 当且仅当eq \f(15 000,x)＝6x， 即x＝50∈(6,500)时， 上述不等式等号成立， 此时，x＝50，y＝60， Smax＝2430.(11分) 答：设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大， 最大值为2430平方米．(13分) 知识落实 技法强化 1.已知x，y是正数，“和定积最大，积定和最小”． 2．求解应用题的方法与步骤． ①审题；②建模(列式)；③求解；④作答． 3．均值不等式的综合应用. 1.利用基本不等式求最值的关键是运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件． 2．在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的．需改用其他方法求解. $$