2.3 第1课时 函数的单调性(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　函数的单调性和最值

 

第1课时　函数的单调性

观察函数f(x)＝x2的图象，完成下列思考．

　怎样描述函数f(x)＝x2随着自变量x值的变化，函数值f(x)的变化情况？

[提示]　在(－∞，0]上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐减小；在[0，＋∞)上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐增大．

　函数f(x)＝x2在定义域上是单调函数吗？

[提示]　不是．

　函数f(x)在定义域D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))”，反之是否也成立呢？

[提示]　函数单调性给出了变量与函数值之间的互化关系，比如f(x)在定义域D上是减函数，若x1，x2∈D，则f(x1)＞f(x2)⇔x1＜x2.

　观察函数y＝的图象，反比例函数y＝的图象如下图，它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？

[提示]　不能．

◎结论形成

1．单调区间

设函数y＝f(x)的定义域是D.I是定义域D上的一个区间．

如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间．

如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间．

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间．

2．增函数、减函数

如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数．

如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f(x)＝2x2，若f(－1)＜f(2)，则函数f(x)在R上是增函数．(　　)

(2)函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．(　　)

(3)若f(x)在R上是减函数，则f(0)>f(1)．(　　)

(4)若f(x)在[1,2]和(2,3]上均单调递增，则f(x)在[1,3]上单调递增．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)

A．y＝3－x　　　　　 B．y＝x2＋1

C．y＝－x2  D．y＝x2－2x－3

解析　画图可知，y＝x2＋1在(0，＋∞)上为增函数，从而在(0,2)上为增函数．

答案　B

3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)

A．y＝－  B．y＝x

C．y＝x2  D．y＝1－x

答案　D

4．下图为y＝f(x)的图象，则它的单调递减区间是________．

解析　由单调性定义可得f(x)的单调递减区间为[－2,1]和[3，＋∞)．

答案　[－2,1]和[3，＋∞)

题型一　根据函数的图象判断函数的单调性 

1．(教材例1拓展)函数y＝的单调递减区间是________．

解析　y＝的图象可由y＝的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．

答案　(－∞，1)，(1，＋∞)

2．(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

(2)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．

解析　(1)y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2，1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数．

(2)f(x)＝的图象如图所示，