2.3 第1课时 函数的单调性(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该教案聚焦函数单调性概念、单调区间及应用，通过观察f(x)=x²和反比例函数图象，设计“函数值变化描述”“定义域单调性判断”等问题链，搭建从函数图象到单调性定义的学习支架，衔接函数图象知识。 特色在于融合直观想象、逻辑推理与数学抽象素养，如通过定义法证明f(x)=x+4/x单调性培养推理能力，问题链引导抽象概念，易错辨析区分“单调区间”与“区间单调”。助力学生深化理解，为教师提供清晰教学路径与题型指导。

　函数的单调性和最值 学业标准 素养目标 1.理解函数的单调性和最值的概念． 2．掌握用定义证明函数单调性的步骤及简单应用．(重点) 3．会借助函数的单调性求最值或解不等式．(难点) 1.通过函数单调性和最值概念的学习，提升数学抽象、直观想象等核心素养． 2．通过函数单调性的应用，发展逻辑推理等核心素养. 第1课时　函数的单调性 导学 函数的单调性 观察函数f(x)＝x2的图象，完成下列思考． 　怎样描述函数f(x)＝x2随着自变量x值的变化，函数值f(x)的变化情况？ [提示]　在(－∞，0]上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐减小；在[0，＋∞)上，随着自变量x值的增大，函数值f(x)逐渐增大． 　函数f(x)＝x2在定义域上是单调函数吗？ [提示]　不是． 　函数f(x)在定义域D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))”，反之是否也成立呢？ [提示]　函数单调性给出了变量与函数值之间的互化关系，比如f(x)在定义域D上是减函数，若x1，x2∈D，则f(x1)＞f(x2)⇔x1＜x2. 　观察函数y＝的图象，反比例函数y＝的图象如下图，它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？ [提示]　不能． ◎结论形成 1．单调区间 设函数y＝f(x)的定义域是D.I是定义域D上的一个区间． 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间． 如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．这时，区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间． 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间． 2．增函数、减函数 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数． 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝2x2，若f(－1)＜f(2)，则函数f(x)在R上是增函数．(　　) (2)函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．(　　) (3)若f(x)在R上是减函数，则f(0)>f(1)．(　　) (4)若f(x)在[1,2]和(2,3]上均单调递增，则f(x)在[1,3]上单调递增．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　) A．y＝3－x　　　　　 B．y＝x2＋1 C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3 解析　画图可知，y＝x2＋1在(0，＋∞)上为增函数，从而在(0,2)上为增函数． 答案　B 3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　) A．y＝－ B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x 答案　D 4．下图为y＝f(x)的图象，则它的单调递减区间是________． 解析　由单调性定义可得f(x)的单调递减区间为[－2,1]和[3，＋∞)． 答案　[－2,1]和[3，＋∞) 题型一　根据函数的图象判断函数的单调性 1．(教材例1拓展)函数y＝的单调递减区间是________． 解析　y＝的图象可由y＝的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 答案　(－∞，1)，(1，＋∞) 2．(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ (2)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． 解析　(1)y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2，1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数． (2)f(x)＝的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调递增区间为[2，＋∞)． 1．函数单调区间的两种求法 (1)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． 2．当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”，也可以用“和”，不能用“∪”．　 题型二　函数单调性的判断与证明 　(教材例3、例4迁移)证明：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． [证明]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋＝. ∵2＜x1＜x2， ∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数． [母题变式] (变结论)若本例的函数不变，试判断f(x)在(0,2)上的单调性． 解析　函数f(x)＝x＋在(0,2)上单调递减． 证明：任取x1，x2∈(0,2)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－ ＝(x1－x2)＋ ＝. 因为0＜x1＜x2＜2， 所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)＝x＋在(0,2)上是单调递减函数． 证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是 　 [触类旁通] 1．证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减． 证明　设∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝. 因为2<x1<x2，所以x2－x1>0，x>4，x>4， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减． 题型三　函数单调性的应用 角度1　利用单调性解不等式 　已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围为________． [解析]　因为f(x)的定义域为[－2,2]， 所以－2≤1－m≤2，且－2≤m≤2， 所以－1≤m≤2. 因为f(x)在区间[－2,2]上是增函数， 所以1－m＜m，解得m＞，所以＜m≤2. [答案]　 角度2　分段函数的单调性 　已知函数f(x)＝在定义域上是单调函数，则实数a的取值范围为(　　) A．[－2,0)　　　　　 B．(－∞，－2] C．(0,2] D．[2，＋∞) [解析]　因为函数y＝x2＋ax－3的图象开口向上，所以它在区间(－∞，a]上只能单调递减，所以f(x)在定义域上单调递减，则 解得a≤－2. [答案]　B 1．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． 2．利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．　 [触类旁通] 2．(1)若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　) A．[1,2] B． C．(1,2] D． (2)已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与f的大小． 解析　(1)因为函数 f(x)＝ 在R上为增函数， 所以解得1≤b≤2. (2)∵a2－a＋1＝2＋≥， ∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值． ∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f≥f(a2－a＋1)． 答案　(1)A　(2)略 [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 因混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念而致错 [典例]　若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值集合是______． [错解]　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.故实数a的取值集合为{a|a≤－3}． [正解]　因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故实数a的取值集合为{－3}． [答案]　{－3} [纠错心得]　单调区间是一个局部概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则是指该区间为相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义． 知识落实 技法强化 1.函数单调性的判断与证明． 2．函数的单调区间的求法． 3．单调性的应用. 1.利用定义法证明函数单调性，作差变形是解决问题的关键所在． 2．增、减函数的定义可实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化，即若f(x)在区间D上为增(减)函数，则x1<x2(x1>x2)⇔f(x1)<f(x2). 学科网（北京）股份有限公司 $$