2.4.1 第1课时 函数的奇偶性(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　函数的奇偶性与简单的幂函数

4．1　函数的奇偶性

第1课时　函数的奇偶性

　奇函数、偶函数的定义域有什么特征？

[提示]　由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．

　一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？

[提示]　若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．

◎结论形成

1．奇函数

设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称，反之亦然．

2．偶函数

设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然．

3．奇偶性

当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称，如(－∞，＋∞)，(－a，a)，[－a，a](a＞0)等．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)奇函数的图象一定过原点．(　　)

(2)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　)

(3)若函数f(x)的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是奇函数．(　　)

(4)y＝f(x)．若存在x0使f(－x0)＝f(x0)，则f(x)是偶数．(　　)

解析　(1)不一定，如函数f(x)＝.

(2)若f(x)＋f(－x)＝0，则f(－x)＝－f(x)．

(3)由奇函数、偶函数图象的特征可知正确．

(4)不正确．

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．下列函数为奇函数的是(　　)

A．y＝|x|　　　　　 B．y＝3－x

C．y＝  D．y＝－x2＋14

解析　A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．

答案　C

3．函数f(x)＝－x的图象关于________对称．

解析　定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－f(x)，

∴函数为奇函数，∴图象关于原点对称．

答案　原点

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.

解析　∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.

答案　－3

题型一　函数奇偶性的判断 

1．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f(x－1)－1　　　 B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1  D．f(x＋1)＋1

解析　f(x)＝－1＋关于(－1，－1)中心对称．向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后函数关于(0,0)中心对称．所以y＝f(x－1)＋1为奇函数．

答案　B

2．(教材例2拓展)判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝x3－2x；

(3)f(x)＝x2＋1；

(4)f(x)＝＋.

解析　(1)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．

(2)函数的定义域为R.

∵f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3－2x)＝－f(x) ，

∴函数f(x)＝x3－2x是奇函数．

(3)函数的定义域为R.

解法一　∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，

∴函数f(x)＝x2＋1是偶函数．

解法二　画出y＝x2＋1的图象如图，由图可知其图象关于y轴对称．

故函数f(x)＝x2＋1是偶函数．

(4)∵函数的定义域为{－1,1}且f(x)＝0，

f(－1)＝0，f(1)＝0，

∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)．

∴函数f(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．

[素养聚焦]　通过奇偶性的判断和证明，把逻辑推理和直观想象等核心素养体现在解题过程中.

判断函数奇偶性要树立定义域优先的原则，在此基础上进一步分析f(－x)与f(x)的关系，