2.4.1 第1课时 函数的奇偶性(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性 学业标准 素养目标 1.了解函数奇偶性的含义．(难点) 2．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点) 3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(难点) 1.通过函数奇偶性定义的学习，提升学生数学抽象等核心素养． 2．借助利用奇偶性求参数问题，培养学生数学运算等核心素养． 3．通过了解函数奇偶性与函数对称性之间的关系，提升直观想象等核心素养. 第1课时　函数的奇偶性 导学 函数的奇偶性 　奇函数、偶函数的定义域有什么特征？ [提示]　由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 　一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？ [提示]　若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数． ◎结论形成 1．奇函数 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称，反之亦然． 2．偶函数 设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然． 3．奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称，如(－∞，＋∞)，(－a，a)，[－a，a](a＞0)等． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇函数的图象一定过原点．(　　) (2)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　) (3)若函数f(x)的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数，若关于原点对称，则该函数是奇函数．(　　) (4)y＝f(x)．若存在x0使f(－x0)＝f(x0)，则f(x)是偶数．(　　) 解析　(1)不一定，如函数f(x)＝. (2)若f(x)＋f(－x)＝0，则f(－x)＝－f(x)． (3)由奇函数、偶函数图象的特征可知正确． (4)不正确． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝|x|　　　　　 B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14 解析　A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数． 答案　C 3．函数f(x)＝－x的图象关于________对称． 解析　定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－f(x)， ∴函数为奇函数，∴图象关于原点对称． 答案　原点 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________. 解析　∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3. 答案　－3 题型一　函数奇偶性的判断 1．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　　　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析　f(x)＝－1＋关于(－1，－1)中心对称．向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后函数关于(0,0)中心对称．所以y＝f(x－1)＋1为奇函数． 答案　B 2．(教材例2拓展)判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝x2＋1； (4)f(x)＝＋. 解析　(1)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数． (2)函数的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3－2x)＝－f(x) ， ∴函数f(x)＝x3－2x是奇函数． (3)函数的定义域为R. 解法一　∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)， ∴函数f(x)＝x2＋1是偶函数． 解法二　画出y＝x2＋1的图象如图，由图可知其图象关于y轴对称． 故函数f(x)＝x2＋1是偶函数． (4)∵函数的定义域为{－1,1}且f(x)＝0， f(－1)＝0，f(1)＝0， ∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)． ∴函数f(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数． [素养聚焦]　通过奇偶性的判断和证明，把逻辑推理和直观想象等核心素养体现在解题过程中. 判断函数奇偶性要树立定义域优先的原则，在此基础上进一步分析f(－x)与f(x)的关系，并就此下结论．　 题型二　奇、偶函数的图象特征及应用 　(教材例1提升)定义在R上的奇函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)解不等式xf(x)>0. [解析]　(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图． (2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)． [母题变式] (变条件)把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题． 解析　(1)f(x)的图象如图所示． (2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)． 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图、求值、解不等式等．　 [触类旁通] 1．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 解析　(1)由题意作出函数图象如图． (2)据图可知，函数的单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞) . (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0,2)． 题型三　利用奇偶性求参数值 　(1)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. (2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________. [解析]　(1)∵f(x)为偶函数， ∴f(x)＝f(－x)， 即(x＋a)(x－4)＝(－x＋a)(－x－4)， 整理得2a＝8，∴a＝4. (2)由题意知 则所以 当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数， 故a＋b＝0. [答案]　(1)4　(2)0 利用函数奇偶性求参数值的方法 (1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决．　 2在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数. 3利用奇偶性求参数值时，应根据x∈R，等式恒成立的特征求参数. [触类旁通] 2．(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则f＝________. (2)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________． 解析　(1)由题意可知2b－5＋2b－3＝0，即b＝2. 又f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0， ∴2ax2＋2c＝0对任意x都成立，则a＝c＝0， ∴f(x)＝x3＋2x. f＝＋2×＝＋1＝. (2)因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5. 答案　(1)　(2)5 [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 因忽视定义域而错判函数的奇偶性 [典例]　判断函数f(x)＝(x－1) 的奇偶性． [错解]　∵f(x)＝－ ＝－＝－， ∴f(－x)＝－＝－＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． [正解]　函数f(x)的定义域为{x|－1≤x＜1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数． [纠错心得]　(1)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． (2)确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式． 知识落实 技法强化 1.函数奇偶性的概念． 2．奇函数、偶函数的图象特征． 3．利用函数奇偶性求参数. 1.判断函数奇偶性的方法有：定义法、数形结合法． 2．判断函数的奇偶性，要首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 学科网（北京）股份有限公司 $$