第1章 3.2 第1课时基本不等式(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第一章　预备知识 §3　不等式 3．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 基本不等式 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 ≥ a＝b 均值不等式． 大于或等于 大于或等于 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 谢谢观看 返回目录 第一章　预备知识 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 学业标准 素养目标 1.理解基本不等式的证明过程．(难点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点) 1.借助基本不等式的证明过程，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过利用基本不等式比较大小或证明不等式，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 　我们把“风车”造型抽象成平面图形，如下图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？ [提示]　eq \r(a2＋b2)，a2＋b2,2ab. 　根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？ [提示]　a2＋b2＞2ab. 　存在4个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？ [提示]　当直角三角形变成等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2＋b2＝2ab. ◎结论形成 1．概念：如果a≥0，b≥0，那么eq \f(a＋b,2)___eq \r(ab)，当且仅当________时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中______称为a，b的算术平均值，_____称为a，b的几何平均值．因此，基本不等式又称为_______________ 2．文字叙述：两个非负实数的算术平均值_____________它们的几何平均值． 3．几何意义：半径_____________半弦． eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的．(　　) (2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2eq \r(ab).(　　) (3)当a＞0，b＞0时，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(　　) (4)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　　) 解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是a＞0，b＞0. (2)基本不等式的变形公式． (3)基本不等式的变形公式． (4)当x＜0时，x＋eq \f(1,x)是负数． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋eq \f(1,a)≥2 B．(－a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))≤－2 C．a2＋eq \f(1,a2)≥2 D．(－a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))2≤－2 解析　因为a2＞0，所以a2＋eq \f(1,a2)≥2成立． 答案　C 3．不等式eq \f(9,x－2)＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3　 B．x＝－3　　 C．x＝5　 D．x＝－5 解析　由基本不等式知等号成立的条件为eq \f(9,x－2)＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 答案　C 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为_______． 解析　xy≤eq \f(x2＋y2,2)＝2，当且仅当x＝y＝±eq \r(2)时取“等号”． 答案　2 题型一　对基本不等式的理解 eq \a\vs4\al(自练悟通) 1．(多选)下列推导过程，正确的是(　　) A．因为a，b为正实数，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2 B．因为a>3，所以eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4 C．因为a<0，所以eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4 D．因为x，y∈R，xy<0，所以eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2，当且仅当x＝－y时，等号成立 解析　对于A，因为a，b为正实数，所以eq \f(b,a)，eq \f(a,b)均大于零，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确； 对于B，eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4，当且仅当a＝2时等号成立，不符合a>3，故B错误； 对于C，因为a<0，所以eq \f(4,a)＋a<0(当a为正数时，才可使用基本不等式)，故C错误； 对于D，由基本不等式推导过程知该选项正确． 答案　AD 2．给出下列命题： ①若x∈R，则x＋eq \f(1,x)≥2； ②若a<0，b<0，则ab＋eq \f(1,ab)≥2； ③不等式eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2成立的充要条件是x>0且y>0 . 其中正确命题的序号是_______． 解析　①只有当x>0时，才能由均值不等式得到x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，故①错误； ②当a<0，b<0时，ab>0，由均值不等式可得ab＋eq \f(1,ab)≥2eq \r(ab·\f(1,ab))＝2，故②正确； ③由均值不等式可知，当eq \f(y,x)>0，eq \f(x,y)>0时，有eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误． 答案　② 1．基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)基本不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b.　 题型二　利用基本不等式比较大小 　已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2eq \r(ab)　　　　 B．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab) D．eq \f(2ab,a＋b)≥eq \r(ab) [解析]　由eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)得a＋b≥2eq \r(ab)，∴A成立； ∵eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，∴B成立； ∵eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥eq \f(2ab,\r(ab))＝2eq \r(ab)，∴C成立； ∵eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，∴D不一定成立． [答案]　D 关于基本不等式比较大小 (1)若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决． (2)在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0，同时注意能否取等号．　 [触类旁通] 1．设0<a<b，比较a，b，eq \r(ab)，eq \f(a＋b,2)的大小，并说明理由． 解析　取a＝2，b＝8，则eq \r(ab)＝4，eq \f(a＋b,2)＝5， 所以a<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)<b. 证明如下：∵(eq \r(ab))2－a2＝a(b－a)，又b>a>0， ∴(eq \r(ab))2>a2，即eq \r(ab)>a. ∵b>a>0，∴eq \f(a＋b,2)>eq \r(ab). 又b>a>0，∴2b>a＋b，即b>eq \f(a＋b,2)， 即当0<a<b时，a<eq \r(ab)<eq \f(a＋b,2)<b. 题型三　利用基本不等式证明不等式 eq \a\vs4\al(一题多变) 　(教材例4拓展)已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＞9. [证明]　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c) ＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c) ＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c))) ≥3＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2 eq \r(\f(c,b)·\f(b,c)) ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c时等号成立， 又a，b，c互不相等，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＞9. [母题变式] (变结论)本例条件不变，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))＞8. 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)， 且a＋b＋c＝1， ∴eq \f(1,a)－1＝eq \f(b＋c,a)＞0，eq \f(1,b)－1＝eq \f(a＋c,b)＞0， eq \f(1,c)－1＝eq \f(a＋b,c)＞0， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1)) ＝eq \f(b＋c,a)·eq \f(a＋c,b)·eq \f(a＋b,c) ≥eq \f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8， 当且仅当a＝b＝c时等号成立， 又a，b，c互不相等，∴原不等式成立． [素养聚焦]　由不等式的证明问题，把逻辑推理等核心素养体现在证题过程中. 1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．　 [触类旁通] 2．设a，b，c都是正数，试证明不等式：eq \f(b＋c,a)＋eq \f(c＋a,b)＋eq \f(a＋b,c)≥6. 证明　因为a>0，b>0，c>0， 所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)≥2，eq \f(b,c)＋eq \f(c,b)≥2， 所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＋eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)＋eq \f(c,b)≥6， 当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)，eq \f(c,a)＝eq \f(a,c)，eq \f(c,b)＝eq \f(b,c)， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以eq \f(b＋c,a)＋eq \f(c＋a,b)＋eq \f(a＋b,c)≥6. [缜密思维提能区] 易错辨析 忽视基本不等式成立的条件致误 [典例]　已知函数y＝x＋eq \f(1,x)，求y的取值范围． [错解]　x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2， 当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，“等号”成立， 所以y≥2，故y的取值范围为[2，＋∞)． [正解]　当x>0时，x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2， 当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，“等号”成立， 所以y≥2；当x<0时，x＋eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x))) ≤－2eq \r(－x·\f(1,－x))＝－2， 当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时，“等号”成立． 所以y≤－2. 故y的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． [纠错心得]　(1)由于y＝x＋eq \f(1,x)中x的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故要对x的符号加以讨论，否则不能用基本不等式． (2)在基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)中，a，b均为非负数，应用该不等式时，一定要符合这一前提条件，先将各项化为正值，再运用基本不等式，最后还应验证“等号”是否成立． 知识落实 技法强化 1.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b都是正数)． 2．利用基本不等式求最值及证明不等式. 1.利用基本不等式证明的过程中，常需要把数式合理地拆分或恒等变形凑成适当的形式以便利用． 2．利用基本不等式求最值的条件是：一正二定三相等，要逐个验证. $$