2.2.2 第2课时 分段函数(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第2课时　分段函数

　函数y＝是两个函数吗？

[提示]　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同．

◎结论形成

1．分段函数的定义

如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．

2．学习分段函数应注意以下几点

(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．

(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)分段函数由几个函数构成．(　　)

(2)分段函数有多个定义域．(　　)

(3)函数f(x)＝是分段函数．(　　)

(4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)

A.　　 B．3　　　

C.　　 D．

解析　f(3)＝，f(f(3))＝f＝2＋1＝.

答案　D

3．(多选)设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝(　　)

A．－3  B．3 

C．－1  D．1

解析　因为f(－1)＝＝1，所以f(a)＝1.

(1)当a≥0时，f(a)＝＝1，所以a＝1.

(2)当a<0时，f(a)＝＝1，所以a＝－1.

综上可知a＝1或－1.

答案　CD

4．已知f(x)＝则f＋f的值为________．

解析　f＝f＋1＝f＋1＝cos＋1＝，

f＝cos＝cos＝－，

∴f＋f＝－＝1.

答案　1

题型一　分段函数的定义域和值域

　(1)已知函数f(x)＝则函数的定义域为________，值域为________．

(2)若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．

[解析]　(1)由已知得，f(x)的定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又当x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．

(2)由题意得f(x)＝画函数f(x)的图象如图所示，得值域是(－∞，1]．

[答案]　(1)R　[0,1]　(2)(－∞，1]

1．分段函数定义域、值域的求法

(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集．

(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集．

2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．　

[触类旁通]

1．(1)函数f(x)＝的值域是(　　)

A．R　　　　　　　 B．[0,2]∪{3}

C．[0，＋∞)  D．[0,3]

(2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________．

解析　(1)当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知，f(x)的值域为[0,2]∪{3}．

(2)由已知得，f(x)的定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1,1)．又当0<x<1时，0<－x2＋1<1，当－1<x<0时，－1<x2－1<0，当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．

答案　(1)B　(2)(－1,1)　(－1,1)

题型二　分段函数求值 

　已知函数f(x)＝

(1)求f(－4)，f(3)，f(f(－2))；

(2)若f(a)＝10，求a的值．

[解析]　(1)f(－4)＝－4＋2＝－2，

f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0，

f(f(－2))＝f(0)＝02＝0.

(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；当－1＜a＜2时，a2＝10，可得a＝±，不符合题意；当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意；综上可知，a＝5.

[母题变式]

1．(变条件)将本例(2)中的“10”改为“”，求a的值．