2.2.1 第1课时 函数概念(一)(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该教案聚焦函数概念核心知识，涵盖定义、定义域及函数值等要点。通过回顾初中函数类型，以变量关系提问衔接，搭建从变量依赖到集合对应的学习支架，梳理知识脉络。 此资料素养导向鲜明，通过函数“三性”辨析提升数学抽象，定义域求解强化逻辑推理与运算，易错案例培养严谨思维。题型分层设计助力能力迁移，便于教师实施梯度教学，促进学生深度学习。

　函　数 2．1　函数概念 学业标准 素养目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的要素．(难点) 2.能求简单函数的定义域、值域．(重点) 3.会判断两个函数是否为同一函数. 1.通过对函数概念的理解提升数学抽象等核心素养． 2.通过求函数的定义域、值域提升逻辑推理，数学运算等核心素养. 第1课时　函数概念(一) 导学 函数概念 　初中我们学习过哪些函数？你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？ [提示]　初中学过正比例函数，一次函数、反比例函数和二次函数；函数描述了两个变量之间的关系，一个是自变量，另一个是因变量． 　因变量y与自变量x之间是怎样的依赖关系？ [提示]　因变量y随自变量x的变化而变化． 　任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ [提示]　不一定．只有非空数集之间才能建立函数关系． ◎结论形成 函数的定义：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中集合A叫作函数的定义域，x叫作自变量，与x值对应的y值叫作函数值，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域． [提醒]　(1)集合A，B是非空数集，值域C⊆B. (2)函数的定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．(　　) (2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　) (3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　) (4)在研究函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(　　) 解析　(1)f(x)是一个符号，“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示． (2)根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一的y与之对应． (3)在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集． (4)同一个题中，为了区别不同的函数，常采用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其函数值不可能是(　　) A．4　　　 B．3　　　　 C．0　　　 D．－1 解析　x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝3. 答案　A 3．已知f(x)＝，则f(2)＝(　　) A．1 B． C. D． 解析　f(2)＝＝. 答案　C 4．(北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是________________． 解析　依题意解得x∈(－∞，0)∪(0,1]． 答案　(－∞，0)∪(0,1] 题型一　函数的概念 1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析　由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数． 答案　C 2．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N＋，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应． 解析　(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． (2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． (3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数． (4)集合A不是数集，故不是函数． 判断对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A，B是否为非空数集． (2)判断A中任一元素在B中是否有唯一的元素与之对应．满足上述两条，则该对应关系是函数关系．　 题型二　求函数的定义域 　(教材例2提升)求下列函数的定义域． (1)y＝3－x； (2)y＝； (3)y＝； (4)f(x)＝. [解析]　(1)函数y＝3－x的定义域为R. (2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 所以函数y＝的定义域为 {x|x>－2，且x≠－1}． (3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤5，且x≠±3，所以函数y＝的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}． (4)要使函数f(x)有意义， 则 即 解不等式组得－1≤x<1. 因此函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}． 求函数定义域的步骤 　 [触类旁通] 1．求下列函数的定义域． (1)f(x)＝2x＋3； (2)f(x)＝·＋2； (3)求函数y＝－＋的定义域． 解析　(1)函数f(x)＝2x＋3的定义域为R. (2)要使函数有意义，需满足解得1≤x≤4.所以函数f(x)＝· ＋2的定义域为{x|1≤x≤4}． (3)要使函数有意义，当且仅当 解得即－<x<且x≠0， 故所求函数的定义域为(－，0)∪(0，)． 题型三　函数对应关系的应用 　已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求f(1)，g(1)的值； (2)求f(g(x))． [解析]　(1)f(1)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝＝＝－(x∈R，且x≠－2)． [母题变式] 1．(变结论)在本例条件下，求g(f(1))的值及f(2x＋1)的表达式． 解析　g(f(1))＝g(1)＝1＋4＝5. f(2x＋1)＝＝－. 2．(变条件、变结论)若将本例g(x)的定义域改为{0,1,2,3}，求g(x)的值． 解析　因为g(x)＝x＋4，x∈{0,1,2,3}， 所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7. 所以g(x)的值为4,5,6,7. 函数求值的方法及关注点 (1)方法 ①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)关注点 用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．　 [触类旁通] 2．已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)求f(3)，f(4)，f(g(3))及f(g(4))的值； (2)求f(g(x))，并证明f(x)＋f(g(x))为常数． 解析　(1)f(3)＝＝－， f(4)＝＝－， f(g(3))＝f＝＝， f(g(4))＝f＝＝. (2)因为f(x)＝，则 f(g(x))＝f＝＝， 所以f(x)＋f(g(x))＝＋＝＝＝2，为常数． [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 因代数式变形不等价而致错 [典例]　求函数y＝的定义域． [错解]　因为y＝)＝，要使函数有意义，则x≠－3. 故函数的定义域为{x|x≠－3}． [正解]　要使函数有意义，必须使x2＋x－6≠0， 即(x－2)(x＋3)≠0，所以x－2≠0且x＋3≠0， 即x≠2且x≠－3. 故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}． [纠错心得]　(1)求函数的定义域时，不可对原表达式化简变形． (2)注意思维的全面性，定义域常从被开方数是否有意义，分母是否为零等角度列不等式(组)求解． 知识落实 技法强化 1.函数的概念． 2.定义域，函数值. 1.函数的判定要注意y的值“存在且唯一”是关键． 2.求定义域时，x的值使函数的表达式每一部分都有意义，考虑要全面；对于实际问题要具体问题具体分析. 学科网（北京）股份有限公司 $$