1.4.3 一元二次不等式的应用(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

4.3　一元二次不等式的应用 学业标准 素养目标 1.了解简单的分式不等式的解法．(重点) 2．理解并掌握不等式恒成立问题．(难点) 3．会用一元二次不等式解决一些简单的实际问题．(重点) 1.通过不等式中的恒成立问题，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 2．借助一元二次不等式的实际应用，培养数学建模等核心素养. 题型一　解简单的分式不等式 　(1)不等式＞0的解集是________． (2)已知关于x的不等式＞0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________. (3)解不等式≤2. [解析]　(1)因为＞0， 所以(x－2)(x＋4)＜0，故－4＜x＜2. (2)＞0等价于(ax－1)(x＋1)＞0， 由题意得a＞0，且－1和是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两个根， 所以＝0，所以a＝2. (3)移项得－2≤0， 左边通分并化简得≤0，即≥0， 可转化为 所以x＜2或x≥5， 所以原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}． [答案]　(1){x|－4＜x＜2}　(2)2　(3)略 解分式不等式的策略 (1)对于形如>0(<0)的不等式可等价转化为f(x)g(x)>0(<0)来解决；对于形如≥0(≤0)的不等式可等价转化为来解决．　 2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分不要去分母，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. [触类旁通] 1．已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是(　　) A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2} 解析　依题意，a＞0且－＝1.＞0⇔(ax－b)(x－2)＞0⇔(x－2)＞0，即(x＋1)(x－2)＞0⇒x＞2或x＜－1. 答案　A 题型二　不等式中的恒成立问题 　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈[1,3]，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解析]　(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0. 若m≠0，⇒－4＜m＜0. ∴－4＜m≤0， 即m的取值范围是(－4,0]． (2)解法一　要使y＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，就要使m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 令y0＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m＞0时，y0是增函数， ∴y0max＝m2＋m－6＝7m－6＜0， ∴0＜m＜； 当m＝0时，－6＜0恒成立； 当m＜0时，y0是减函数， ∴y0max＝m2＋m－6＝m－6＜0， 得m＜6.∴m＜0. 综上所述，m＜，即m的取值范围是. 解法二　当x∈[1,3]时，y＜－m＋5恒成立， 即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立． ∵x2－x＋1＝2＋＞0， 又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜. ∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m＜即可． ∴m的取值范围是. 一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法 (1)在R上恒成立问题． ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ (2)在给定区间上的恒成立问题． ①a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.　 [触类旁通] 2．(1)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是(　　) A．(0,4)　　　　　　 B．[0,4) C．(0，＋∞) D．(－∞，4) (2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1<0成立，则实数m的取值范围是________． 解析　(1)依题意，当a≠0时， 即解得0<a<4， 当a＝0时也符合题意，故0≤a<4. 故选B. (2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1<0， 则 解得－<m<0. 答案　(1)B　(2) 题型三　一元二次不等式的实际应用 　某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24)． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？ [解析]　(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y＝400＋60t－120(0≤t≤24)． 令x＝，则t＝， 所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)， 所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40， 即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)由已知400＋10x2－120x＜80， 得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8， 即4＜＜8，＜t＜，而－＝8， 所以每天约有8小时供水紧张． 一元二次不等式实际应用问题的关注点 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．　 [触类旁通] 3．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 解析　设税率调低后“税收总收入”为y元． y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)% ＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)． 依题意，得y≥2400m×8%×78%， 即－m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%， 整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2. 根据x的实际意义，知0＜x≤8，所以0<x≤2，即x的范围为(0,2]． [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 忽视二次项系数为零的情况致误 [典例]　关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围． [错解]　原不等式可化为mx2＋mx＋(m－1)＜0，依题意得 ⇔⇔⇔m＜0， 故m的取值范围为m＜0. [正解]　原不等式可化为mx2＋mx＋(m－1)＜0， 若m＝0，则不等式化为－1＜0，符合题意； 若m≠0，则应有 ⇔⇔⇔m＜0. 综上，m的取值范围为(－∞，0]． [纠错心得]　不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 知识落实 技法强化 1.简单的分式不等式的解法．　 2．不等式恒成立问题. 1.不等式恒成立问题，根据题目的特点选取相适应的方法(分离参数法或借助于二次函数)． 2．注意解分式不等式时充分利用转化与化归思想. 学科网（北京）股份有限公司 $$