1.3.2 第2课时 基本不等式的应用(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该教案聚焦基本不等式求最值及实际应用，通过函数y=x(1-x)(0<x<1)设问导入，引导学生用基本不等式解决问题，梳理从具体问题到“和定积最大、积定和最小”结论的形成，搭建从基础到复杂问题的学习支架。 特色在于分层题型与核心素养融合，通过“不正”“不定”问题及多变量条件最值题提升数学运算能力，结合车流量、弹簧拉伸等实际问题培养数学建模素养，引导学生用数学思维分析、用数学语言表达，助力学生能力提升，为教师提供系统教学支持。

第2课时　基本不等式的应用 学业标准 素养目标 1.会用基本不等式求简单函数的最值．(重点) 2．会用基本不等式解决实际问题．(难点) 1.借助基本不等式求最值，提升数学运算核心素养． 2．通过基本不等式的实际应用，培养数学建模核心素养. 导学 基本不等式求最值 　已知函数y＝x(1－x)(0＜x＜1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？ [提示]　最大值；能． ∵0＜x＜1，∴1－x＞0， 又∵≥，∴ab≤2， ∴x(1－x)≤2＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，该函数有最大值. ◎结论形成 基本不等式与最值 已知x，y都是正数时，下列命题均成立． 和定积最大 若x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值 积定和最小 若xy＝p(积为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个正数的和为定值，则它们的积有最大值．(　　) (2)x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　) (3)若x＞0，则函数f(x)＝x2＋的最小值等于4. (　　) (4)若不等式a≥y(关于x的函数)恒成立，则a≥ymax.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　　　 　　　　 B．a C. D．3 解析　a＞1，∴a－1＞0， ∴a＋＝a－1＋＋1≥2 ＋1＝3. 答案　D 3．已知a＋b＝1，a＞0，b＞0，则＋的最小值为(　　) A．2　　　 B．3 C．4　　　 D．5 解析　＋＝(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2 ＝4. 当且仅当a＝b＝时“等号”成立． 答案　C 4．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 解析　1＝x＋4y≥2＝4， ∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立． 即x＝，y＝. 答案　 题型一　利用基本不等式求简单问题的最值 角度1　“不正”问题 　已知x＜0，则3x＋的最大值为______． [解析]　因为x＜0，所以－x＞0. 则3x＋＝－ ≤－2＝－12， 当且仅当＝－3x， 即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12. [答案]　－12 角度2　“不定”问题 　(1)已知x＞2，则x＋的最小值为_________． (2)已知0＜x＜，则x(1－2x)的最大值为_________． [解析]　(1)因为x＞2， 所以x－2＞0， 所以x＋＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝4， 所以当且仅当x－2＝(x＞2)， 即x＝3时，x＋的最小值为4. (2)因为0＜x＜，所以1－2x＞0， 所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤2＝， 当且仅当2x＝1－2x， 即x＝时，x(1－2x)的最大值为. [答案]　(1)4　(2) 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答时易漏掉等号成立的条件． 2．利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题 (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 [触类旁通] 1．(1)若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为________． (2)已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值． 解析　(1)y＝x＋＋＝＋≥2＝8， 当且仅当＝， 即x＝2＋时，等号成立． (2)∵x＜，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3 ＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立， ∴当x＝1时，ymax＝1. 答案　(1)8　(2)略 题型二　含有多个变量的条件求最值 　(1)已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值； (2)已知正数a，b满足＋＝3，求ab的取值范围． [解析]　(1)解法一　＋＝·1 ＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2 ＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当 即时等号成立． ∴＋的最小值为3＋2. 解法二　＋＝＋ ＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当 即时等号成立， ∴＋的最小值为3＋2. (2)由＋＝3，得a＋b＝3ab. 因为a＋b≥2， 所以3ab≥2，即9(ab)2≥4ab. 因为a＞0，b＞0， 所以ab≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 故ab的取值范围是. [母题变式] 　(变条件、变结论)本例(2)中，若将条件改为“正数a，b满足2a＋b＋6＝ab”，则ab的最小值为__________． 解析　由2a＋b＋6＝ab，可得2a＋b＝ab－6. 因为2a＋b≥2， 所以ab－6≥2，即ab－6≥2·， 因此ab－2·－6≥0， 解得≥3或≤－(舍去)，即ab≥18，当且仅当a＝3，b＝6时，等号成立． 故ab的最小值为18. 答案　18 [素养聚焦]　利用含有条件的基本不等式最值问题，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中. 1．常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题，应用此种方法求解最值的基本步骤为 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 2．含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．　 [触类旁通] 2．(1)(2024·广西部分学校开学考试)已知a>0，b>0，且a＋b＝ab，则2ab－a＋7b的最小值是(　　) A．6　　　 B．9　　　　 C．16　 　 D．19 (2)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值． 解析　(1)因为a＋b＝ab且a>0，b>0， 所以＋＝1， 则2ab－a＋7b＝2(a＋b)－a＋7b ＝a＋9b＝(a＋9b) ＝＋＋10≥2＋10＝16， 当且仅当＝，且＋＝1， 即a＝4，b＝时等号成立． 因此，2ab－a＋7b的最小值是16. (2)∵＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋9 ＝＋＋10， 又∵x＞0，y＞0， ∴＋＋10≥2＋10＝16， 当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立． 由得 即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 答案　(1)C　(2)略 题型三　基本不等式在实际问题中的应用 　(教材例5拓展)某市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v＞0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ [解析]　(1)由题意y＝ ＝≤＝， 当且仅当v＝，即v＝40时取等号． ∴ymax＝≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：＞10， 整理得v2－89v＋1600＜0， 即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64. ∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时． 基本不等式解决实际问题的思路方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)回到实际问题中，结合实际意义写出正确的答案．　 [触类旁通] 3．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d＝，其中d是距离(单位：cm)，m是质量(单位：g)，k是弹簧系数(单位：g/cm)．当弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k3满足＝＋，并联时得到的弹簧系数k4满足k4＝k1＋k2.已知某物体质量为20 g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1 cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为(　　) A. cm B． cm C．1 cm D．2 cm 解析　当两个弹簧并联时，k4＝k1＋k2， 拉伸距离d＝＝， 要使d最大，则需k4＝k1＋k2最小． 依题意得k3＝＝20， 即＝＋＝，即20(k1＋k2)＝k1k2. 又k1k2≤，故k1＋k2≥80， 当且仅当k1＝k2＝40时等号成立，则k4的最小值为80，此时d最大，为＝(cm)．故选A. 答案　A [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　规范答题　　 均值不等式的实际应用 [典例]　(13分)某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如下图所示的一个总面积为3000平方米的矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米． (1)分别用x表示y和S的关系式，并给出x的取值范围； (2)怎样设计能使S取得最大值？并求出最大值． [审题指导]　(1)结合图形用x表示y及S，注意x的实际意义并求其范围． (2)利用均值不等式求最值，注意等号成立的条件． [规范解答]　(1)由已知xy＝3000， 所以y＝， 其中x∈(6,500)．(2分) S＝(x－4)a＋(x－6)a ＝(2x－10)a， 因为2a＋6＝y， 所以a＝－3＝－3，(4分) 所以S＝(2x－10)· ＝3030－， 其中x的取值范围是(6,500)．(6分) (2)S＝3030－ ≤3030－2 ＝3030－2×300＝2430，(9分) 当且仅当＝6x， 即x＝50∈(6,500)时， 上述不等式等号成立， 此时，x＝50，y＝60， Smax＝2430.(11分) 答：设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．(13分) 知识落实 技法强化 1.已知x，y是正数，“和定积最大，积定和最小”． 2．求解应用题的方法与步骤． ①审题；②建模(列式)；③求解；④作答． 3．均值不等式的综合应用. 1.利用基本不等式求最值的关键是运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件． 2．在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的．需改用其他方法求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$