1.3.2 第1课时 基本不等式(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

3．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 学业标准 素养目标 1.理解基本不等式的证明过程．(难点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点) 1.借助基本不等式的证明过程，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过利用基本不等式比较大小或证明不等式，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学 基本不等式 　我们把“风车”造型抽象成平面图形，如下图所示，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a，b，那么正方形的边长为多少？面积为多少？4个直角三角形的面积和又是多少？ [提示]　，a2＋b2,2ab. 　根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得一个怎样的不等式？ [提示]　a2＋b2＞2ab. 　存在4个直角三角形的面积和与正方形的面积相等的情况吗？何时相等？图形怎样变化？ [提示]　当直角三角形变成等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2＋b2＝2ab. ◎结论形成 1．概念：如果a≥0，b≥0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值．因此，基本不等式又称为均值不等式． 2．文字叙述：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 3．几何意义：半径大于或等于半弦． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　) (2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2.(　　) (3)当a＞0，b＞0时，ab≤2.(　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) 解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a＞0，b＞0. (2)基本不等式的变形公式． (3)基本不等式的变形公式． (4)当x＜0时，x＋是负数． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋2≤－2 解析　因为a2＞0，所以a2＋≥2成立． 答案　C 3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3　 B．x＝－3　　 C．x＝5　 D．x＝－5 解析　由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． 答案　C 4．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________． 解析　xy≤＝2，当且仅当x＝y＝±时取“等号”． 答案　2 题型一　对基本不等式的理解 1．(多选)下列推导过程，正确的是(　　) A．因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2 B．因为a>3，所以＋a≥2＝4 C．因为a<0，所以＋a≥2＝4 D．因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－y时，等号成立 解析　对于A，因为a，b为正实数，所以，均大于零，所以＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确； 对于B，＋a≥2＝4，当且仅当a＝2时等号成立，不符合a>3，故B错误； 对于C，因为a<0，所以＋a<0(当a为正数时，才可使用基本不等式)，故C错误； 对于D，由基本不等式推导过程知该选项正确． 答案　AD 2．给出下列命题： ①若x∈R，则x＋≥2； ②若a<0，b<0，则ab＋≥2； ③不等式＋≥2成立的充要条件是x>0且y>0 . 其中正确命题的序号是________． 解析　①只有当x>0时，才能由均值不等式得到x＋≥2＝2，故①错误； ②当a<0，b<0时，ab>0，由均值不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确； ③由均值不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误． 答案　② 1．基本不等式≥(a>0，b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)基本不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.　 题型二　利用基本不等式比较大小 　已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2　　　　 B．＋≥2 C.≥2 D．≥ [解析]　由≥得a＋b≥2，∴A成立； ∵＋≥2 ＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． [答案]　D 关于基本不等式比较大小 (1)若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决． (2)在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0，同时注意能否取等号．　 [触类旁通] 1．设0<a<b，比较a，b，，的大小，并说明理由． 解析　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a<<<b. 证明如下：∵()2－a2＝a(b－a)，又b>a>0， ∴()2>a2，即>a. ∵b>a>0，∴>. 又b>a>0，∴2b>a＋b，即b>， 即当0<a<b时，a<<<b. 题型三　利用基本不等式证明不等式 　(教材例4拓展)已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋＞9. [证明]　∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2 ＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c时等号成立， 又a，b，c互不相等，∴＋＋＞9. [母题变式] (变结论)本例条件不变，求证：·＞8. 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)， 且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＞0，－1＝＞0， －1＝＞0， ∴ ＝·· ≥＝8， 当且仅当a＝b＝c时等号成立， 又a，b，c互不相等，∴原不等式成立． 1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系． 2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．　 [触类旁通] 2．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6. 证明　因为a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2，＋≥2，＋≥2， 所以＋＋＋＋＋≥6， 当且仅当＝，＝，＝， 即a＝b＝c时，等号成立． 所以＋＋≥6. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错辨析　　 忽视基本不等式成立的条件致误 [典例]　已知函数y＝x＋，求y的取值范围． [错解]　x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时，“等号”成立， 所以y≥2，故y的取值范围为[2，＋∞)． [正解]　当x>0时，x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x＝1时，“等号”成立， 所以y≥2；当x<0时，x＋＝－ ≤－2＝－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1时，“等号”成立． 所以y≤－2. 故y的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)． [纠错心得]　(1)由于y＝x＋中x的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故要对x的符号加以讨论，否则不能用基本不等式． (2)在基本不等式≥中，a，b均为非负数，应用该不等式时，一定要符合这一前提条件，先将各项化为正值，再运用基本不等式，最后还应验证“等号”是否成立． 知识落实 技法强化 1.≥(a，b都是正数)． 2．利用基本不等式求最值及证明不等式. 1.利用基本不等式证明的过程中，常需要把数式合理地拆分或恒等变形凑成适当的形式以便利用． 2．利用基本不等式求最值的条件是：一正二定三相等，要逐个验证. 学科网（北京）股份有限公司 $$