1.3.1 不等式的性质(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该高中数学教案聚焦不等式的性质，通过“两实数比较大小的基本事实”导入，衔接实数大小比较知识，以表格梳理传递性、可加性等性质，搭建清晰学习支架。 亮点在于素养目标明确，通过“乘常数是否不等”等问题驱动培养逻辑推理，结合钢管截取实例渗透数学建模，题型含判断、解答及易错分析，助力学生提升数学思维，为教师提供系统教学资源。

　不等式 3．1　不等式的性质 学业标准 素养目标 1.掌握不等式的性质，并能利用不等式的性质，比较数与式的大小或证明简单的不等式．(重点) 2．能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 1.借助不等式的性质的应用，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过运用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，提升数学建模等核心素养. 导学1 基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a＞b，a＝b，a＜b. 依据 如果a＞b，那么a－b＞0. 如果a＜b，那么a－b＜0. 如果a＝b，那么a－b＝0 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系 导学2 不等式的性质 　已知3＞2，若两边同乘以2，不等式成立吗？若两边同乘以c(c为常数)，不等式成立吗？ [提示]　同乘以2，不等式成立；两边同乘以c，不等式不一定成立． 　如果a＞b，那么a2＞b2成立吗？ [提示]　不一定成立． ◎结论形成 性质 性质内容 注意 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc c的 符号 a＞b，c＜0⇒ac＜bc 同向相加 a＞b, c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 相乘 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd a＞b＞0, c＜d＜0⇒ac＜bd 开方 a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n≥2) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(　　) (4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(　　) 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2. (2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系． (3)符合不等式的可乘方性． (4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c＞b－d　　　　 B．ac＞bd C．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c 解析　因为b＜a，d＜c，所以b＋d＜a＋c. 答案　C 3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　) A．x2＜a2＜0 B．x2＞ax＞a2 C．x2＜ax＜0 D．x2＞a2＞ax 解析　因为x＜a＜0，不等号两边同时乘a，则ax＞a2；不等号两边同时乘x，则x2＞ax，故x2＞ax＞a2. 答案　B 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为____________． 解析　M－N＝a2＋a＋1＝2＋＞0， ∴M＞N. 答案　M＞N 题型一　用不等式(组)表示不等关系 1.如图是公路上一个限制宽度的指示标志，要求装载宽度a不得超过3米，用不等式表示为________． 解析　“不超过”即小于或等于，故用不等式表示为a≤3. 答案　a≤3 2．某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？ 解析　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根． 根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不超过4000 mm. (2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍． (3)截得两种钢管的数量都不能为负． 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得到不等式．　 题型二　比较两个数(式)的大小 　(教材例1拓展)已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小． [解析]　解法一(作差法) －(＋) ＝＋＝＋ ＝＝. ∵a，b为正实数， ∴＋＞0，＞0，(－)2≥0， ∴≥0， 当且仅当a＝b时等号成立． ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 解法二(作商法) ＝ ＝＝ ＝＝1＋≥1， 当且仅当a＝b时取等号． ∵＋＞0，＋＞0， ∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)． 解法三(平方后作差) ∵2＝＋＋2， (＋)2＝a＋b＋2， ∴2－(＋)2＝. ∵a＞0，b＞0，∴≥0， 又＋＞0，＋＞0， 故＋≥＋(当且仅当a＝b时等号成立)． 数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号．　 [触类旁通] 1．比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R. 解析　因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝－2＋3 ＝2＋≥＞0. 所以x2＋3＞3x. 题型三　不等式性质的应用 角度1　应用不等式性质判断命题真假 　(多选)(2025·广东广雅中学检测)下列说法正确的是(　　) A．若>，则a>b B．若a2>b2，ab>0，则< C．若a>b，c<d，则a－c>b－d D．若b>a>0，m>0，则< [解析]　因为>，且c2>0，所以a>b，故A正确；当a＝－2，b＝－1时，满足a2>b2，ab>0，此时＝－>－＝，故B错误；因为c<d，所以－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d，故C正确；当b＝2，a＝1，m＝1时，＝，＝，此时>，故D错误． [答案]　AC 1．解决这类问题时，通常有两种方法：一是直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种办法． 2．注意正确的倒数法则，应该是a＞b，ab＞0⇒＜，不能误认为是a＞b⇒＜，在应用时不能出错．　 角度2　应用不等式性质证明不等式 　(教材例2、例3提升)(1)已知a＞b，e＞f，c＞0.求证：f－ac＜e－bc； (2)若bc－ad≥0，bd＞0.求证：≤. [证明]　(1)∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc， ∴－ac＜－bc.∵f＜e，∴f－ac＜e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd＞0， ∴≤，∴＋1≤＋1，∴≤. 1．简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．　 2．对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． [触类旁通] 2．(1)(2024·上海卷)已知a，b，c∈R，b>c，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋b2>a＋c2　　　 B．a2＋b>a2＋c C．ab2>ac2 D．a2b>a2c (2)若a，b∈(1，＋∞)，证明：<. 解析　(1)当b>c≥0时，b2 >c2，当c<b≤0时，b2<c2，所以a＋b2>a＋c2不一定成立，故A错误； 因为b>c，a2≥0，所以a2＋b>a2＋c成立，故B正确；当a>0，c<b≤0时，ab2<ac2，当a<0，b>c≥0时，ab2<ac2，当a＝0时，ab2＝ac2，这三种情况下ab2>ac2都不成立，故C错误；当a＝0时，a2b> a2c不成立，故D错误．综上，选B. (2)证明　要证 <，只需证()2<()2，只需证a＋b－1－ab<0，即证(a－1)·(1－b)<0.因为a>1，b>1，所以a－1>0,1－b<0，即(a－1)(1－b)<0成立，所以原不等式成立． 答案　(1)B　(2)略 [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 [典例]　已知－4＜a＜6,2＜b＜4，则a－2b的取值范围是________． [解析]　因为2＜b＜4，所以－4＜－b＜－2，则－8＜－2b＜－4.又因为－4＜a＜6，所以－12＜a－2b＜2. [答案]　(－12,2) [纠错心得]　同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎． 知识落实 技法强化 1.作差法比较大小． 2.不等式的性质及应用． 3.不等式的证明方法. 1. 注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性． 2.避免证明题中不等式性质使用不恰当，反证法中假设不准确. 学科网（北京）股份有限公司 $$