1.2.1 第2课时 充要条件(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

该教案聚焦充要条件的意义及判断、证明方法，通过“集合关系与充分必要条件”的导学问题导入，衔接前期充分、必要条件知识，以集合为支架构建概念体系。 特色在于以逻辑推理为核心，通过“条件判断（如(a-b)a²<0与a<b的关系分析）、充要条件证明（方程根与系数关系）、参数范围应用”三级题型设计，培养数学思维与表达能力。例题典型且分层，助力教师高效教学，帮助学生深化逻辑推理与问题解决能力。

第2课时　充要条件 学业标准 素养目标 1.理解充要条件的意义．(难点) 2．掌握判断、证明充要条件的一般方法．(重点) 1.借助充要条件的理解、判定与证明，提升直观想象、逻辑推理等核心素养． 2．通过充要条件的应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 导学 充要条件 　若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A是B的真子集吗？ [提示]　不一定，A⊆B. 　若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，又是必要条件，则A与B的关系怎样？ [提示]　A＝B. ◎结论形成 1．充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 2．常见的四种条件 (1)充分不必要条件，即p⇒q，而qp. (2)必要不充分条件，即pq而q⇒p. (3)充要条件，即p⇒q，q⇒p. (4)既不充分又不必要条件，即pq，qp. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件．(　　) (4)(x－1)(x－2)＝0的充要条件是x＝1且x＝2.(　　) 解析　(1)当p是q的充要条件时，p⇒q，且q⇒p，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确． (2)若pq或qp，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确． (3)因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件． (4)x＝1或x＝2. 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．充要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当a与b异号且负数绝对值大时，也有a＋b＜0，所以“a＋b＜0” “a＜0，b＜0”， 显然“a＜0，b＜0”⇒“a＋b＜0”，所以“a＋b＜0”是“a＜0，b＜0”的必要而不充分条件． 答案　C 3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x＜0，y＜0　　　　　 B．x＜0，y＞0 C．x＞0，y＞0 D．x＞0，y＜0 解析　第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x＜0，y＞0. 答案　B 4．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空： (1)a＋b＝0是a2＋b2＝0的____________； (2)x＝1或x＝2是x－1＝的________． 解析　(1)∵a＋b＝0⇒a＝－b a2＋b2＝0， a2＋b2＝0⇒a＝0且b＝0⇒a＋b＝0， ∴a＋b＝0是a2＋b2＝0的必要不充分条件． (2)∵x＝1或x＝2⇔x－1＝， ∴x＝1或x＝2是x－1＝的充要条件． 答案　(1)必要不充分条件 (2)充要条件 题型一　充分、必要、充要条件的判断 　(教材例3拓展)(1)设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0　　　　　　 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 (3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？ ①p：x≠0，q：x＋|x|>0. ②p：a，b∈R，|a－b|＝|a|＋|b|，q：a，b∈R，ab<0 . ③p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两个实数根，q：x1＋x2＝－5. ④p：A⊆B，q：A∩B＝A. [解析]　(1)由(a－b)a2<0，得⇒a<b， 故(a－b)a2<0是a<b的充分不必要条件．故选A. (2)a，b中至少有一个不为零⇔a2＋b2>0.故选D. (3)①因为由x≠0推不出x＋|x|>0， 如x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq，所以p不是q的充要条件． ②由|a－b|＝|a|＋|b|， 两边平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2， 即|ab|＝－ab，得ab≤0，即“|a－b|＝|a|＋|b|”等价于“ab≤0”， 所以pq，所以p不是q的充要条件． ③当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5， 而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根． 所以qp，所以p不是q的充要条件． ④由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件，即p是q的充要条件． [答案]　(1)A　(2)D　(3)略 1．解题时，既要看p是否能推出q，又要看q是否能推出p. 2．本类题是关于充分条件、必要条件、充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q的真假时，也可从集合角度入手，判其真伪，所以结合集合关系理解，对解决逻辑中的相应问题是大有益处的．　 [触类旁通] 1．下列各题中，p是q的什么条件(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)? (1)p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形； (2)p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0； (3)p：m＞0，q：方程x2＋x－m＝0有实根． 解析　(1)∵四边形对角线互相平分四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形对角线互相平行， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵x＝1或x＝2⇒x2－3x＋2＝0， x2－3x＋2⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件． (3)∵m＞0⇒方程x2＋x－m＝0的Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根； 方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0m＞0，∴p是q的充分不必要条件． 题型二　充要条件的证明 　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]　设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. (1)充分性(p⇒q)：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中 得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. (2)必要性(q⇒p)： 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. 所以有a×12＋b×1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. [母题变式] (变条件、变结论)将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac＜0”，如何证明？ 证明　设p：ac＜0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根， (1)充分性(p⇒q)：因为ac＜0， 所以Δ＝b2－4ac＞0，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根， 由根与系数关系可知这两个根的积为＜0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． (2)必要性(q⇒p)：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，由根与系数的关系可知这两个根的积为＜0，所以ac＜0. 由(1)(2)可得，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0. 充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．　 [触类旁通] 2．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明　①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况． 当xy＝0时，不妨设x＝0， 则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|， ∴等式成立． 当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0， 又当x>0，y>0时， |x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件． 题型三　充要条件的应用 　设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． [解析]　设A＝{x|(4x－3)2≤1}， B＝{x|a≤x≤a＋1}， 易知A＝， 由p是q的充分不必要条件，即A真包含于B， ∴解得0≤a≤. 经检验知当a＝0和a＝时均符合题意． 故所求实数a的取值范围是. 1．对条件q中的不等式因式分解是求解关键，然后根据集合法判断条件p，q中不等式解集之间的关系． 2．利用条件的充要性求解参数问题，关键是将条件属性转化为适当的解题思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解．　 [触类旁通] 3．已知命题p：x＜－2或x＞3，命题q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解析　设A＝{x|x＜－2或x＞3}， B＝， 因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以－≤－2，即m≥8. 所以m的取值范围是[8，＋∞)． 知识落实 技法强化 1.充要条件的判断． 2．充要条件的证明． 3．充要条件的探求. 1.探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性，如果能保证变形每一步都可逆，也可以直接求出充要条件． 2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，注意转化与化归思想的应用. 学科网（北京）股份有限公司 $$