1.1.3 第2课时 全集与补集(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第2课时　全集与补集 导学1 全集 　全集是固定的吗？ [提示]　“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的． ◎结论形成 1．定义：在研究某些集合时，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集． 2．符号表示：全集通常记作U. 导学2 补集 　A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．集合A，B，U有何关系？ [提示]　U＝A∪B. 　补集是固定的吗？ [提示]　补集是以“全集”为前提的，不是固定的，离开了全集，补集就毫无意义了． ◎结论形成 1．定义 自然语言 设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 2.性质 (1)A∪(∁UA)＝U；(2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.(　　) (2)若A⊆B⊆U，则∁UA⊇∁UB.(　　) (3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．(　　) (4)集合∁RA＝∁QA可能成立．(　　) 解析　(1)由集合补集的定义可知三个等式都成立． (2)画出Venn图可知，此说法正确． (3)根据补集的定义可知，此说法正确． (4)正确． 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　　) A．2∈M　　　　　　 B．3∈M C．4∉M D．5∉M 解析　由题设，易知M＝{2,4,5}，对比选项，选择A. 答案　A 3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________. 解析　∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}， ∴∁UA＝{x|0＜x＜1}． 答案　{x|0＜x＜1} 4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________． 解析　∁UA＝{x|x＜0}， ∁UB＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}． ∴∁UA⊆∁UB. 答案　∁UA⊆∁UB 题型一　补集的运算 　(教材例7迁移)(1)设U＝{x∈Z|－5≤x<－2，或2<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________. (2)若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁SA. ①S＝R；②S＝{x|x≤2}；③S＝{x|－4≤x≤1}． [解析]　(1)在集合U中，∵x∈Z， 则x的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． (2)①把集合A表示在数轴上如下图所示． 由图知∁SA＝{x|x＜－1或x≥1}． ②把集合S和A表示在数轴上，如下图所示． 由图易知∁SA＝{x|x＜－1或1≤x≤2}． ③把集合S和A表示在数轴上，如下图所示． 由图易知∁SA＝{x|－4≤x＜－1或x＝1}． [答案]　(1){－5，－4,3,4}　{－5，－4,5} (2)略 求集合补集的依据及处理技巧 1．依据：集合补集的定义． 2．两种处理技巧 (1)当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．　 [触类旁通] 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜1或x＞2}，集合B＝{x|x＜－3或x≥1}，求∁RA，∁RB. 解析　借助数轴，由下图可知： ∁RA＝{x|1≤x≤2}，∁RB＝{x|－3≤x＜1}． 题型二　交、并、补的综合运算 　(1)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5,9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1,4,9}　　　　　 B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} (2)已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x＜－1}，B＝{x|－1≤x＜1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)． [解析]　(1)B＝{1,4,9,16,25,81}，A∩B＝{1,4,9}，则∁A(A∩B)＝{2,3,5}．故选D. (2)将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示， 则∁UA＝{x|－1≤x≤3}； ∁UB＝{x|－5≤x＜－1，或1≤x≤3}； (∁UA)∩(∁UB)＝{x|1≤x≤3}． 答案　(1)D　(2)略 求集合交、并、补运算的方法 [触类旁通] 2．(1)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝，N＝，则＝(　　) A．∁U B．N∪∁UM C．∁U D．M∪∁UN (2)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁UN)＝{2,4}，则N等于(　　) A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4} 解析　(1)由题意可得M∪N＝， 则∁U＝，选项A正确； ∁UM＝，则N∪∁UM＝，选项B错误； M∩N＝，则∁U＝{x|x≤－1或x≥1}，选项C错误； ∁UN＝或，则M∪∁UN＝{x|x<1或x≥2}，选项D错误； 故选A. (2)(排除法)由M∩(∁UN)＝{2,4}，说明N中一定不含有元素2,4，故可以排除A、C、D，故选B. 答案　(1)A　(2)B 题型三　根据补集运算求参数 　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． [解析]　解法一(直接法)　由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x＜－m}． 因为B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． 解法二(集合间的关系)　由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2＜x＜4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2. 所以m的取值范围是{m|m≥2}． [母题变式] (变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解析　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x＜－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4. 所以m的取值范围是{m|m≤－4}． 解答本题的关键是利用A∁RB，对A＝∅与A≠∅进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．　 [触类旁通] 3．(1)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________． (2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1＜0}，B＝{x|x＞a}，且∁UA⊆B，则实数a的取值范围为________． 解析　(1)∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}．又∵A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x<a}． 观察∁RB与A在数轴上表示的区间，如图所示： 可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R. (2)∵A＝{x|x＜1}，U＝R，∴∁UA＝{x|x≥1}， ∵∁UA⊆B，如下图所示， ∴a＜1.∴实数a的取值范围为{a|a＜1}． 答案　(1){a|a≥2}　(2)(－∞，1) [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　规范答题　　 补集思想的综合应用 [典例]　(13分)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁UA)∪B≠R，求a的取值范围； (2)若A∩B≠A，求a的取值范围． [审题指导]　本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用，求解时可先将不相等问题转化为相等问题，求出a的集合后取其补集． [规范解答]　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x＜0，或x＞2}．(2分) 设(∁RA)∪B＝R，如下图所示， ∴a≤0，且a＋3≥2， 即a≤0，且a≥－1.①(4分) ∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a＜－1，或a＞0}．(6分) (2)若A∩B＝A，则A⊆B，又A≠∅，(7分) 则得 即－1≤a≤0.(10分) ∴当A∩B≠A时，a的取值范围为集合{a|－1≤a≤0}的补集， 即{a|a＜－1，或a＞0}．②(13分) 知识落实 技法强化 1.全集和补集的概念及运算． 2．交、并、补集的混合运算． 3．与补集有关的参数范围的求解. 1.学习本节课要注意正难则反的补集思想、数形结合的思想方法． 2．求补集时易忽视全集，运算时注意端点的取舍. 学科网（北京）股份有限公司 $$