第7章 §2 2.2 古典概型的应用(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．(多选)若A，B为互斥事件，则下列结论不正确的是(　　) A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1 C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) 解析　由互斥事件的定义知只有D正确，故选ABC. 答案　ABC 2．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　) A．0.40　　　　　　 B．0.30 C．0.60 D．0.90 解析　不够8环的概率为1－0.20－0.30－0.10＝0.40. 答案　A 3．(2025·烟台高一月考)掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　) A. B． C. D． 解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P()＝1－P(B)＝1－＝.因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝. 答案　C 4．(多选)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是(　　) A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18 C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55 解析　由题意可知，P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18，事件A∪B与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，∴P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45.故选ABC. 答案　ABC 5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.3，甲获胜的概率是0.2，则乙获胜的概率为__________；乙不输的概率为________． 解析　由于一局棋要么甲获胜，要么乙获胜，要么两人和棋，因此乙获胜的概率为1－0.3－0.2＝0.5，乙不输的概率为0.5＋0.3＝0.8(或1－0.2＝0.8)． 答案　0.5　0.8 6．已知公交车某站处只有1,2,3,4,5路公交车经过，且2,3,4,5路车每天经过该站的次数是相等的，而1路车每天经过该站的次数是其他各路车的总和．有位乘客在该公交车站处等候着1,3,4路车的到来，则首先到站的公交车是这位乘客等候的公交车的概率为________． 解析　设事件H表示“首先到站的是1路车或3路车或4路车”，事件Ai表示“首先到站的是第i(i＝1,2,3,4,5)路车”． 由题意，知P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝1.因为1路车每天经过该站的次数是其他各路车的总和，所以P(A1)＝. 又2,3,4,5路车每天经过该站的次数是相等的，所以P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝P(A5)＝. 又H＝A1＋A3＋A4，且A1，A3，A4两两互斥，所以P(H)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＝，故首先到站的公交车是这位乘客等候的公交车的概率为. 答案　 7．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为________． 解析　设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1，b2，b3. 齐王与田忌赛马，其情况有： (a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜； (a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜； (a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜； (a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜； (a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜； (a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜，共6种． 其中田忌获胜的只有一种情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为. 答案　 8．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． (1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率． 解析　将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有10个样本点． 令D表示事件“此人被评为优秀”，E表示事件“此人被评为良好”，F表示事件“此人被评为良好及以上”．则 (1)P(D)＝. (2)因为P(E)＝＝， 所以P(F)＝P(D)＋P(E)＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选)小张上班从家到公司开车所需时间(单位：min)随交通堵塞状况有所变化，其概率如下表所示. 所需时间 30 40 50 60 概率 路线一 0.5 0.2 0.2 0.1 路线二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条路线，“所需时间小于50 min”与“所需时间为60 min”是对立事件 B．从所需的平均时间看，路线一比路线二更节省时间 C．若某天只能走路线一，则上班所需时间超过30 min的概率为0.5 D．若要求在45 min以内从家赶到公司，则小张应该走路线一 解析　A错误，“所需时间小于50 min”与“所需时间为60 min”是互斥而不对立事件； B正确，路线一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(min)，路线二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(min)，所以路线一比路线二更节省时间； C正确，走路线一上班所需时间超过30 min的概率为0.2＋0.2＋0.1＝0.5(或1－0.5＝0.5)； D错误，走路线一上班所需时间小于45 min的概率为0.5＋0.2＝0.7，走路线二上班所需时间小于45 min的概率为0.3＋0.5＝0.8，小张应该走路线二． 答案　BC 10．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学业生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% 解析　记学生喜欢足球为事件A，学生喜欢游泳为事件B.由题意得P(A＋B)＝0.96，P(A)＝0.60，P(B)＝0.82.因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以P(AB)＝0.60＋0.82－0.96＝0.46＝46%.故选C. 答案　C 11．同时抛掷两枚骰子，5点，6点都没有的概率为，则至少掷出一个5点或6点的概率为________． 解析　设“既没有5点，也没有6点”的事件为A，“至少掷出一个5点或6点”的事件为B，则A与B是对立事件．所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝. 答案　 12．(2025·湖南郴州高一检测)十进位制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小木棍．下图是利用算筹表示数字1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这5根算筹表示的所有两位数中，个位上的数字与十位上的数字之和为5的概率为________． 解析　1根算筹只能表示1,2根算筹可表示2和6,3根算筹可表示3和7,4根算筹可表示4和8,5根算筹可表示5和9，因此5根算筹表示的两位数有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76，共12个，其中个位上的数字与十位上的数字之和为5的有14,41,23,32，共4个，所以所求概率为＝. 答案　 13．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖(所有的球除颜色外都相同)． (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2)有人认为：两个箱子的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 解析　(1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)． (2)不正确．理由如下： 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝＞.故这种说法不正确． [核心价值·探索创新] 14．(学科融合)(2025·陕西咸阳模考)某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为(　　) A. B． C. D． 解析　设事件A＝“该成员出现X性状”，事件B＝“该成员出现Y性状”，则事件∩＝“该成员X，Y两种性状都不出现”，事件A∩B＝“该成员两种性状都出现”． 由题意得P(A)＝，P(B)＝， P(∩)＝， 所以P(A∪B)＝1－P(∩)＝， 又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)， 所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B) ＝＋－＝. 答案　B 15．某班同学利用春节进行社会实践，对本地25～55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图(如下图)： 人数统计表 序号 分组(岁) 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在 本组中所占的比例 1 [25,30) 120 0.6 2 [30,35) 195 p 3 [35,40) 100 0.5 4 [40,45) a 0.4 5 [45,50) 30 0.3 6 [50,55] 15 0.3 各年龄段人数频率分布直方图 (1)补全频率分布直方图，并求出n，p，a的值； (2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层随机抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁年龄段中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 解析　(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3， 所以第二组高为＝0.06. 频率分布直方图如下图所示： 第一组的人数为＝200， 频率为0.04×5＝0.2， 所以n＝＝1000. 已求得第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以p＝＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15， 所以第四组的人数为1000×0.15＝150， 所以a＝150×0.4＝60. (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比为60∶30＝2∶1， 所以采用分层随机抽样法抽取6人，[40,45)岁年龄段中抽取4人，[45,50)岁年龄段中抽取2人． 设年龄在[40,45)岁中被抽取的4个人分别为A1，A2，A3，A4； 年龄在[45,50)岁中被抽取的2个人分别为B1，B2. 因为分成甲、乙两组的人数相同，共有10种不同方法， 记“[45,50)岁年龄段中被抽取的人恰好又分在同一组”为事件C，事件C包含的样本点有4个，(A1，B1，B2；A2，B1，B2；A3，B1，B2；A4，B1，B2)，所以P(C)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$