7.2.2 古典概型的应用 练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.2　古典概型的应用 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则出现甲级品的概率是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0.04 B.0.98 C.0.97 D.0.96 2.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)= (　 ) A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9 3.一枚骰子连续掷两次得到的点数分别为m,n,则m>n的概率为 (　 ) A. B. C. D. 4.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.某天,齐王与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹,每匹马赛一次,赢得两局者为胜,则田忌获胜概率为 (　 ) A. B. C. D. 5.在掷一枚质地均匀的骰子的试验中,用事件A表示“掷出的点数是小于5的偶数”,事件B表示“掷出的点数小于5”.若表示B的对立事件,则在一次试验中,事件A+发生的概率为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2023·安徽阜阳三中高一月考] 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 (　 ) A. B. C. D. 7.[2023·四川内江六中高一月考] 在某联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张奖券,分为一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率是.若中一等奖或二等奖的概率是,则任取一张奖券,中三等奖的概率为 (　 ) A. B. C. D. 8.(多选题)袋子中有5个大小、质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球,从中不放回地随机摸出2个球,下列结论正确的是 (　 ) A.2个球的颜色不同的概率为 B.2个球的颜色不同的概率为 C.2个球都是红球的概率为 D.2个球都是黄球的概率为 9.(多选题)已知甲罐中有4个相同的小球,标号分别为1,2,3,4;乙罐中有5个相同的小球,标号分别为1,2,3,5,6.现从甲、乙两罐中分别随机抽取1个小球,记事件A表示“抽取的2个小球标号之和大于5”,事件B表示“抽取的2个小球标号之积大于8”,则 (　 ) A.事件A发生的概率为 B.事件A∪B发生的概率为 C.事件A∩B发生的概率为 D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P()=　　　　.   11.两个人射击,甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2.已知,是方程x2-5x+6=0的两根,且P1满足方程-P1+=0,则甲射击一次,不中靶的概率为　　　　;乙射击一次,不中靶的概率为　　　　.  12.一个盒子里装有标号为1,2,3,4的四张标签,随机地依次选取两张标签,若标签的选取是无放回的,则两张标签上的数字为相邻整数的概率是　　　　;若标签的选取是有放回的,则两张标签上的数字为相邻整数的概率是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)某医院一天内派出医生下乡的人数及其概率如下: 派出医生 的人数 0 1 2 3 4 5及其 以上 概率 0.18 0.25 0.36 0.1 0.1 0.01 (1)求至多派出2名医生的概率; (2)求至少派出3名医生的概率. 14.(10分)[2023·四川泸县一中高一月考] 某班在一次班会课上推出了一项趣味活动:在一个箱子里放有4个完全相同的小球,小球上分别标记了1,2,3,4.参加活动的学生有放回地摸两次球,每次摸出1个,并分别记录下球的号码数字x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励笔记本1个;②若xy≥8,则奖励水杯1个;③其余情况奖励饮料1瓶. (1)求小王获得笔记本的概率; (2)试分析小王获得水杯与获得饮料,哪一个概率大. 15.(5分)同时掷两枚均匀的骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0无实数根的概率是　　　　.   16.(15分)[2023·黑龙江双鸭山一中高一月考] 已知关于x的二次函数f(x)=mx2-nx-1,令集合M={1,2,3,4},N={-1,2,4,6,8},分别从集合M,N中随机抽取一个数m和n,构成数对(m,n). (1)写出数对(m,n)的样本空间,并计算样本点共有多少个; (2)记事件A表示“二次函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)”,求事件A的概率; (3)记事件B表示“关于x的方程|f(x)|=2有4个零点”,求事件B的概率. 2.2　古典概型的应用 1.D　[解析] 设事件A为“出现甲级品”,则P(A)=1-P()=1-(0.03+0.01)=0.96. 2.C　[解析] 因为P(C)=0.6,B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C. 3.A　[解析] 一枚骰子连续掷两次,样本空间中的样本点总数N=36,m>n包含的样本点为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共15个,则m>n的概率P==.故选A. 4.B　[解析] 设齐王的上等马、中等马、下等马分别为a1,a2,a3,田忌的上等马、中等马、下等马分别为b1,b2,b3,所有比赛的情况如下:(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),齐王获胜;(a1,b1),(a2,b3),(a3,b2),齐王获胜;(a1,b2),(a2,b1),(a3,b3),齐王获胜;(a1,b2),(a2,b3),(a3,b1),齐王获胜;(a1,b3),(a2,b1),(a3,b2),田忌获胜;(a1,b3),(a2,b2),(a3,b1),齐王获胜.共6种情况,其中田忌获胜只包含1种情况,故所求概率P=.故选B. 5.C　[解析] 由题知A={2,4},B={1,2,3,4},则={5,6}.在一次试验中,样本空间中的样本点的总数为6,事件A+包含的样本点为2,4,5,6,共4个,∴事件A+发生的概率为=.故选C. 6.C　[解析] 正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个样本点.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和1组对角线),共包括10个样本点,所以所求概率P==.故选C. 7.A　[解析] 设任取一张奖券,中一等奖、中二等奖、中三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,则它们均为互斥事件.由条件可得P(D)=,则易知P(A)+P(B)+P(C)=,又P(B+C)=P(B)+P(C)=,P(A+B)=P(A)+P(B)=,所以P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以任取一张奖券,中三等奖的概率为.故选A. 8.BC　[解析] 设2个红球为M,N,3个黄球为d,e,f,则不放回地随机摸出2个球,样本空间为Ω={MN,Md,Me,Mf,Nd,Ne,Nf,de,df,ef},共10个样本点.设事件D为“2个球的颜色不同”,则D={Md,Me,Mf,Nd,Ne,Nf},共6个样本点,P(D)==,A错误,B正确.设事件E为“2个球都是红球”,则E={MN},P(E)=,C正确.设事件F为“2个球都是黄球”,则F={de,df,ef},P(F)=,D错误.故选BC. 9.BC　[解析] 由题意知,从甲、乙两罐中分别随机抽取1个小球,样本空间中共有20个样本点.“抽取的2个小球标号之和大于5”包含的样本点有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11个样本点;“抽取的2个小球标号之积大于8”包含的样本点有(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共8个样本点.事件A发生的概率为,故A错误.事件A∪B包含的样本点有11个,所以事件A∪B发生的概率为,故B正确.事件A∩B包含的样本点有8个,所以事件A∩B发生的概率为=,故C正确.从甲罐中抽到标号为2的小球,包含的样本点为(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6),共5个样本点,故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为,故D错误.故选BC. 10.0.5　[解析] ∵随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,∴P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.7-0.2=0.5,∴P()=1-P(A)=1-0.5=0.5. 11.　　[解析] 由-P1+=0,得P1=.因为,是方程x2-5x+6=0的两根,所以·=6,所以P2=.因此甲射击一次,不中靶的概率为1-=;乙射击一次,不中靶的概率为1-=. 12.　　[解析] 一个盒子里装有标号为1,2,3,4的四张标签,随机地依次选取两张标签.若标签的选取是无放回的,则样本空间中的样本点的总数为12,两张标签上的数字为相邻整数包含的样本点有6个,为(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),∴两张标签上的数字为相邻整数的概率是=.若标签的选取是有放回的,则样本空间中的样本点的总数为16,两张标签上的数字为相邻整数包含的样本点有6个,为(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),∴两张标签上的数字为相邻整数的概率是=. 13.解:记派出医生的人数为0,1,2,3,4,5及其以上分别为事件A0,A1,A2,A3,A4,A5,显然它们彼此互斥. (1)至多派出2名医生的概率为P(A0+A1+A2)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.18+0.25+0.36=0.79. (2)方法一:至少派出3名医生的概率为P(A3+A4+A5)=P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.1+0.1+0.01=0.21. 方法二:“至少派出3名医生”的对立事件是“至多派出2名医生”,故至少派出3名医生的概率为1-P(A0+A1+A2)=1-0.79=0.21. 14.解:(1)小王摸两次球的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点,其中满足xy≤3的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共有5个样本点,所以小王获得笔记本的概率P1=. (2)由(1)可知,满足xy≥8的有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6个样本点,所以小王获得水杯的概率P2==. 则小王获得饮料的概率P3=1--=, 因为>,所以小王获得水杯的概率大. 15.　[解析] 易知样本空间中的样本点共有36个.因为方程无实根,所以Δ=(m+n)2-16<0,可得m+n<4,包含的样本点为(1,1),(1,2),(2,1),共3个.所以所求概率为=. 16.解:(1)由题意可得,m∈{1,2,3,4},n∈{-1,2,4,6,8},则数对(m,n)的样本空间为Ω={(1,-1),(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,-1),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,-1), (4,2),(4,4),(4,6),(4,8)},共20个样本点. (2)因为二次函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞),且m>0,二次函数f(x)的图象开口向上,所以二次函数f(x)图象的对称轴为直线x==1,即n=2m. 由(1)可得,样本空间中共有20个样本点, 符合n=2m的样本点为(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)共4个, 所以P(A)==. (3)因为m>0,所以二次函数的图象开口向上,方程|f(x)|=2有4个零点,即方程f(x)=2和f(x)=-2各有2个零点,等价于二次函数f(x)=mx2-nx-1的最小值小于-2,所以<-2,可得n2>4m. 样本空间中符合n2>4m的样本点有(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11个,所以P(B)=. 学科网（北京）股份有限公司 $$